Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de
no intervalo de 1 a 4. O conteúdo envolvido é operações com raízes e uso da regra de potência para integração.
Passo 2
Vamos primeiro reescrever o integrando de forma mais simples. Note que
, então
Passo 3
Agora aplicamos a regra de potência, que diz
(para
). Assim, uma antiderivada de
é
Passo 4
Por fim, avaliamos essa primitiva nos limites de 1 a 4 e subtraímos:
$$\Bigl(2\sqrt{4} + \tfrac{2}{3}(4)^{3/2}\Bigr) - \Bigl(2\sqrt{1} + \tfrac{2}{3}(1)^{3/2}\Bigr).
$$
Passo 5
Calculando cada termo:
,
então
; e
,
então
. Logo
$$\Bigl(4+\tfrac{16}{3}\Bigr)-\Bigl(2+\tfrac{2}{3}\Bigr)=\tfrac{28}{3}-\tfrac{8}{3}=\tfrac{20}{3}.
$$