Calcule as seguintes integrais definidas:
integral1^4(1+xraizx) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de dfrac1+xraizx no intervalo de 1 a 4. O conteúdo envolvido é operações com raízes e uso da regra de potência para integração.

Passo 2

Vamos primeiro reescrever o integrando de forma mais simples. Note que raizx = x^1/2, então
1+xraizx = 1x^1/2 + xx^1/2 = x^-1/2 + x^1/2

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência, que diz integral x^ndx = tfracx^n+1n+1 + C (para nneq -1). Assim, uma antiderivada de x^-1/2 + x^1/2 é
2x^1/2 + 23x^3/2 + C

Passo 4

Por fim, avaliamos essa primitiva nos limites de 1 a 4 e subtraímos:
$$\Bigl(2\sqrt{4} + \tfrac{2}{3}(4)^{3/2}\Bigr) - \Bigl(2\sqrt{1} + \tfrac{2}{3}(1)^{3/2}\Bigr).
$$

Passo 5

Calculando cada termo: 2raiz4=4, (4)^3/2=8 então tfrac23cdot8=tfrac163; e 2raiz1=2, (1)^3/2=1 então tfrac23cdot1=tfrac23. Logo
$$\Bigl(4+\tfrac{16}{3}\Bigr)-\Bigl(2+\tfrac{2}{3}\Bigr)=\tfrac{28}{3}-\tfrac{8}{3}=\tfrac{20}{3}.
$$

Resposta

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