Determine quem são os zeros de cada uma das funções e a respectiva ordem:
f(z)=z e^z-z;

Passo 1

A questão pede para encontrar todos os zeros da função de variável complexa f(z)=z e^z-z e determinar a ordem (multiplicidade) de cada zero. O conteúdo envolvido é teoria de zeros de funções holomorfas e fatoração em torno de pontos críticos.

Passo 2

Para começar, vamos fatorar f(z). Observe que
f(z)=z e^z-z = zl(e^z-1r)

Passo 3

Agora temos dois fatores: z e e^z-1. Os zeros de f vêm de cada fator. Primeiro, consideramos o fator z=0. Para ver a ordem desse zero, usamos a expansão em série de e^z-1 em torno de z=0:
e^z-1 = z + z^22! + z^33! + cdots

Passo 4

Multiplicando por z,
f(z)=zl(e^z-1r)=zl(z + tfracz^22! + cdotsr)=z^2 + z^32! + cdots

Passo 5

Isso mostra que em z=0 a função se anula como z^2, ou seja, zero de ordem 2.

Passo 6

Em seguida, resolvemos e^z-1=0. Isso dá e^z=1, cujas soluções complexas são
z=2pi i k, kinZ

Passo 7

O caso k=0 já é o ponto z=0 tratado antes. Para kne0, z=2pi i k faz e^z-1 ter zeros simples, pois ddz(e^z-1)=e^z e em z=2pi i k temos e^z=1ne0. Portanto cada z=2pi i k, kne0, é um zero de ordem 1.

Resposta

Os zeros de f(z)=z e^z-z são:
z=0, de ordem 2.
z=2pi i k para todo kinZsetminus0, cada um de ordem 1.

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