Determine quem são os zeros de cada uma das funções e a respectiva ordem:
;
Passo 1
A questão pede para encontrar todos os zeros da função de variável complexa
e determinar a ordem (multiplicidade) de cada zero. O conteúdo envolvido é teoria de zeros de funções holomorfas e fatoração em torno de pontos críticos.
Passo 2
Para começar, vamos fatorar
. Observe que
Passo 3
Agora temos dois fatores:
e
. Os zeros de
vêm de cada fator. Primeiro, consideramos o fator
. Para ver a ordem desse zero, usamos a expansão em série de
em torno de
:
Passo 4
Multiplicando por
,
Passo 5
Isso mostra que em
a função se anula como
, ou seja, zero de ordem 2.
Passo 6
Em seguida, resolvemos
. Isso dá
, cujas soluções complexas são
Passo 7
O caso
já é o ponto
tratado antes. Para
,
faz
ter zeros simples, pois
e em
temos
. Portanto cada
,
, é um zero de ordem 1.
Resposta
Os zeros de
são:
•
, de ordem 2.
•
para todo
, cada um de ordem 1.