Questão 1

Seja omega a forma diferencial seguinte
omega=d x1 wed>= d x2+d x3 wed>= d x4+cdots+d x2 n-1 wed>= d x2 n
Provar que omega^n=n!d x1 wed>= d x2 wed>= cdots wed>= d x2 n-1 wed>= d x2 n.

Passo 1

A gente tem uma 2-forma definida em ,(\mathbb R^{2n}) por omega = dx1wed>= dx2 + dx3wed>= dx4 + cdots + dx2n-1wed>= dx2n. O objetivo é calcular a potência omega^n usando propriedades do produto exterior e mostrar que sai n!,dx1wed>=cdotswed>= dx2n.

Passo 2

Para organizar a expansão, definimos para cada i=1,dots,n a 2-forma alphai = dx2i-1wed>= dx2i. Assim fica fácil ver que
[\omega = \sum_{i=1}^n \alpha_i]

Passo 3

Lembre que o produto exterior é bilinear, associativo e alternante. Em particular
[\alpha_i \wedge \alpha_i = 0]\nporque repetir um fator em um wedged product zera tudo.

Passo 4

Usando a multinomial para formas, a potência é
[\omega^n = \bigl(\sum_{i=1}^n \alpha_i\bigr)^n = \sum_{i_1,\dots,i_n=1}^n \alpha_{i_1}\wedge\cdots\wedge \alpha_{i_n}.]

Passo 5

Na soma acima, se algum índice ik=iell com kneqell, então alphaikwed>=alphaiell=0. Logo só sobrevivem os termos em que (i1,dots,in) é uma permutação de (1,2,dots,n). São exatamente n! termos não nulos.

Passo 6

Cada produto alphasigma(1)wed>=cdotswed>=alphasigma(n) vale o mesmo que alpha1wed>=cdotswed>=alphan, pois todas as alphai têm grau 2 e comutam no wedge. Mas
[\alpha_1\wedge\cdots\wedge\alpha_n = dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge\cdots\wedge dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.]
Somando n! vezes esse mesmo termo, concluímos o resultado.

Passo 7

Portanto
[\omega^n = n!,dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge\cdots\wedge dx_{2n}.]

Resposta

n!,dx1wed>= dx2wed>=cdotswed>= dx2n

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