Questão 1
Seja
a forma diferencial seguinte
Provar que
.
Passo 1
A gente tem uma 2-forma definida em ,(\mathbb R^{2n}) por
. O objetivo é calcular a potência
usando propriedades do produto exterior e mostrar que sai
.
Passo 2
Para organizar a expansão, definimos para cada
a 2-forma
. Assim fica fácil ver que
[\omega = \sum_{i=1}^n \alpha_i]
[\omega = \sum_{i=1}^n \alpha_i]
Passo 3
Lembre que o produto exterior é bilinear, associativo e alternante. Em particular
[\alpha_i \wedge \alpha_i = 0]\nporque repetir um fator em um wedged product zera tudo.
[\alpha_i \wedge \alpha_i = 0]\nporque repetir um fator em um wedged product zera tudo.
Passo 4
Usando a multinomial para formas, a potência é
[\omega^n = \bigl(\sum_{i=1}^n \alpha_i\bigr)^n = \sum_{i_1,\dots,i_n=1}^n \alpha_{i_1}\wedge\cdots\wedge \alpha_{i_n}.]
[\omega^n = \bigl(\sum_{i=1}^n \alpha_i\bigr)^n = \sum_{i_1,\dots,i_n=1}^n \alpha_{i_1}\wedge\cdots\wedge \alpha_{i_n}.]
Passo 5
Na soma acima, se algum índice
com
, então
. Logo só sobrevivem os termos em que
é uma permutação de
. São exatamente
termos não nulos.
Passo 6
Cada produto
vale o mesmo que
, pois todas as
têm grau 2 e comutam no wedge. Mas
[\alpha_1\wedge\cdots\wedge\alpha_n = dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge\cdots\wedge dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.]
Somando vezes esse mesmo termo, concluímos o resultado.
[\alpha_1\wedge\cdots\wedge\alpha_n = dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge\cdots\wedge dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.]
Somando
Passo 7
Portanto
[\omega^n = n!,dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge\cdots\wedge dx_{2n}.]
[\omega^n = n!,dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge\cdots\wedge dx_{2n}.]