Classifique as afirmações como VERDADEIRO OU FALSO
O campo vetorial vecF(x, y)=(y cos x-cos y, sin x+x sin y) é conservativo.

Passo 1

O enunciado quer saber se o campo vetorial
vec F(x,y)=(P,Q) com
P(x,y)=ycos x-cos y, Q(x,y)=sin x+xsin y
é conservativo. O critério que vamos usar é o da igualdade das derivadas parciais cruzadas num domínio aberto e simplesmente conectado (aqui R^2):
partial Ppartial y = partial Qpartial x

Passo 2

Calcular partial Ppartial y.
Como
P(x,y)=ycos x-cos y,
temos
partial Ppartial y =cos x+sin y

Passo 3

Calcular partial Qpartial x.
Como
Q(x,y)=sin x+xsin y,
temos
partial Qpartial x =cos x+sin y

Passo 4

Comparando,
partial Ppartial y =cos x+sin y = partial Qpartial x
Além disso, o domínio de vec F é R^2, que é simplesmente conectado. Logo, por o teorema de Poincaré, vec F é conservativo.

Resposta

VERDADEIRO

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