Calcule a integral de linha integralc F cdot d r, onde F(x, y, z)=(-y, x, 2 z) é o campo vetorial e a curva é parametrizada por r(t)=(2 cos (t), 3 sen(t), 3 t), 0 <= t <= pi.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial, que é um caso de aplicação de integrais de linha de campos vetoriais. Vamos usar a parametrização dada para expressar F ao longo da curva e então integrar o produto escalar F(r(t))cdot r,'(t).

Passo 2

Temos r(t)=(2cos t,,3sin t,,3t). Primeiro vamos calcular a derivada em relação a t:
r,'(t)=(-2sin t,,3cos t,,3)
Agora avaliamos o campo F(x,y,z)=(-y,,x,,2z) ao longo da curva: substituímos x=2cos t, y=3sin t, z=3t. Assim,
F(r(t))=(-3sin t,,2cos t,,6t)
Calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot r,'(t):
$$(-3\sin t)(-2\sin t)+ (2\cos t)(3\cos t)+ (6t)(3)
=6\sin^2 t + 6\cos^2 t +18t.$$
Como (-3sin t)(-2sin t)+ (2cos t)(3cos t)+ (6t)(3) =6sin^2 t + 6cos^2 t +18t, isso simplifica para sin^2 t+cos^2 t=1.

Passo 3

Por fim, integramos de t=0 até t=pi:
integral0^pi(6+18t),dt =l[6t+9t^2r]0^pi =6pi+9pi^2
Portanto, o valor da integral de linha é 6pi+9pi^2.

Resposta

6\pi + 9\pi^2

Exercícios relacionados