Calcule a integral de linha
, onde
é o campo vetorial e a curva é parametrizada por
.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial, que é um caso de aplicação de integrais de linha de campos vetoriais. Vamos usar a parametrização dada para expressar
ao longo da curva e então integrar o produto escalar
.
Passo 2
Temos
. Primeiro vamos calcular a derivada em relação a
:
Agora avaliamos o campo
Calculamos o produto escalar
:
$$(-3\sin t)(-2\sin t)+ (2\cos t)(3\cos t)+ (6t)(3)
=6\sin^2 t + 6\cos^2 t +18t.$$
Como , isso simplifica para
.
Como
Passo 3
Por fim, integramos de
até
:
Portanto, o valor da integral de linha é
.
Resposta
6\pi + 9\pi^2