Mostre que o campo vetorial F(x, y)=(2 x y+24 x, x^2+16) é conservativo, determine uma função phi: R^2 R tal que F=grad(phi) e calcule integralc F d S, onde c é qualquer caminho ligando os pontos (1,1) e (2,4).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r)
com
P(x,y)=2xy+24x, Q(x,y)=x^2+16
O objetivo é
  1. mostrar que F é conservativo em R^2;
  2. encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi=F;
  3. calcular a integral de linha
integralcFcdot dS
entre os pontos (1,1) e (2,4).
Usaremos a condição partial P/partial y=partial Q/partial x e o Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente.

Passo 2

Verificamos a condição de conservatividade em R^2 (domínio simplesmente conectado):
partial Ppartial y = partialpartial y(2xy+24x) =2x, partial Qpartial x = partialpartial x(x^2+16) =2x
Como
partial Ppartial y =partial Qpartial x,
seguimos que F é conservativo.

Passo 3

Para achar phi(x,y) com nablaphi=(P,Q), integramos P em relação a x:
phi(x,y) =integral (2xy+24x),dx =x^2y+12x^2+h(y),
onde h é função de y. Agora igualamos partialphi/partial y a Q:
partialphipartial y =x^2+h'(y) stackrel!=x^2+16 Longrightarrow h'(y)=16 ;Longrightarrow; h(y)=16y+C
Tomando C=0, obtemos
phi(x,y)=x^2y+12x^2+16y

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos,
integralcFcdot dS =phil(2,4r)-phil(1,1r)
Calculamos:
phi(2,4)=2^2cdot4+12cdot2^2+16cdot4 =16+48+64=128,
phi(1,1)=1^2cdot1+12cdot1^2+16cdot1 =1+12+16=29,
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integralcFcdot dS =128-29=99

Resposta

A função potencial é
phi(x,y)=x^2y+12x^2+16y
e a integral de linha vale
integralcF,dS=99

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