Mostre que o campo vetorial
é conservativo, determine uma função
tal que
e calcule
, onde
é qualquer caminho ligando os pontos
e
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos o campo vetorial
com
O objetivo é
- mostrar que
é conservativo em ; - encontrar uma função potencial
tal que ; - calcular a integral de linha
entre os pontos
e
.
Usaremos a condição e o Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente.
Usaremos a condição
Passo 2
Verificamos a condição de conservatividade em
(domínio simplesmente conectado):
Como
seguimos que
é conservativo.
Passo 3
Para achar
com
, integramos
em relação a
:
onde
é função de
. Agora igualamos
a
:
Tomando
, obtemos
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos,
Calculamos:
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Resposta
A função potencial é
e a integral de linha vale