Determine integral duplaR y d A, onde R é a região enclausurada pelas linhas 2 x+y=0, 2 x+y=3, x-y=0 e x-y=2.

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral duplaR y,dA
onde R é o paralelogramo limitado pelas retas
2x+y=0, 2x+y=3, x-y=0, x-y=2
Para simplificar, vamos usar o Teorema de mudança de variáveis em integrais duplas e escolher variáveis que façam essas retas virarem retângulo no plano (u,v).

Passo 2

Definimos
u = 2x + y, v = x - y
Precisamos inverter para expressar x e y em função de u,v. Da segunda equação x=v+y, em que
u = 2(v+y) + y = 2v + 3y ;Longrightarrow; y = u - 2v3,
e então
x = v + y = v + u - 2v3 = u + v3
O Jacobiano dessa transformação é
J = partial(x,y)partial(u,v) = det partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v = det 13 & 13[3pt] 13 & -23 = -13,
logo lvert Jrvert=tfrac13 e dA = tfrac13,du,dv.]

Passo 3

No plano (u,v), as retas
2x+y=0;longrightarrow;u=0, 2x+y=3;longrightarrow;u=3,
x-y=0;longrightarrow;v=0, x-y=2;longrightarrow;v=2
Ou seja, R vira o retângulo 0<= u<=3,;0<= v<=2. Portanto
integral duplaR y,dA = integralv=0^2!integralu=0^3 y(u,v),l|Jr|,du,dv = integral0^2!integral0^3 u-2v3cdot13,du,dv = integral0^2!integral0^3u-2v9,du,dv

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em u:
integral0^3u-2v9,du = 19l[tfracu^22-2v,ur]0^3 = 19l(tfrac92-6vr) = 12 - 23v
Agora a integral em v:
integral0^2l(tfrac12 - tfrac23vr),dv = l[tfracv2 - tfrac23cdottfracv^22r]0^2 = l(1 - tfrac43r) = -tfrac13

Resposta

integral duplaR y,dA = -tfrac13

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