Considere a curva dada pela parametrização r(t)=2 sen(t) i+j+3 cos (t) k.
Encontre r^prime(pi6).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela função vetorial $ r(t) = 2 \sin(t) \vec{i} + \vec{j} + 3 \cos(t) \vec{k} $. O objetivo é encontrar a derivada dessa função em $ t = \frac{\pi}{6} $. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais e depois avaliar a derivada no ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial $ r(t) $. A derivada de uma função vetorial é feita derivando cada uma das componentes separadamente em relação a $ t $.
Então, vamos derivar cada componente:
  • A componente em $ \vec{i} $ é $ 2 \sin(t) $. A derivada de $ \sin(t) $ em relação a $ t $ é $ \cos(t) $, então a derivada dessa componente é $ 2 \cos(t) \vec{i} $.
  • A componente em $ \vec{j} $ é constante, $ 1 $. A derivada de uma constante é zero, então essa parte desaparece.
  • A componente em $ \vec{k} $ é $ 3 \cos(t) $. A derivada de $ \cos(t) $ em relação a $ t $ é $ -\sin(t) $, então a derivada dessa componente é $ -3 \sin(t) \vec{k} $.
Então, a derivada de $ r(t) $ é:
r(t)

Passo 3

Agora que temos a derivada geral $ r’(t) $, vamos substituir $ t $ por $ \frac{\pi}{6} $ para encontrar $ r’\left(\frac{\pi}{6}\right) $.
Primeiro, vamos calcular $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) $ e $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $:
  • $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
  • $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $
Substituindo esses valores na derivada:
r'(t)

Resposta

A derivada da função vetorial no ponto $ t = \frac{\pi}{6} $ é:
t = pi6

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