Calcule a integral de linha integralC f d s quando f(x, y)=x y e C=Im alpha com
alpha(t)=(t^2, 2 t) 0 <= t <= d

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar f(x,y)=xy sobre a curva C dada pela parametrização
alpha(t) = l(t^2,,2tr), 0<= t<= d
O conteúdo é integral de linha de função escalar, e para resolver precisamos usar
integralC f,ds ;=;integral0^d fl(alpha(t)r),l|alpha'(t)r|,dt

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização e o elemento de comprimento:
alpha'(t) = l(2t,,2r),
l|alpha'(t)r| =raiz(2t)^2 + 2^2 =2raizt^2+1

Passo 3

Avaliar f ao longo de alpha:
fl(alpha(t)r) =(t^2),(2t) =2,t^3
Portanto o integrando fica
fl(alpha(t)r),l|alpha'(t)r| =2,t^3;times;2raizt^2+1 =4,t^3raizt^2+1

Passo 4

Montar a integral em t:
integralCf,ds =integral0^d4,t^3raizt^2+1,dt

Passo 5

Fazer a substituição u=t^2+1, de modo que du=2t,dt e t^2=u-1. Então
t^3,dt = t^2,(t,dt)=(u-1),du2,
e a integral vira
integral0^d4,t^3raizt^2+1,dt =4integralu=1^u=d^2+1(u-1),u^1/2,du2 =2integral1^d^2+1l(u^3/2-u^1/2r),du
Integrando:
integral u^3/2du=25u^5/2, integral u^1/2du=23u^3/2,
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2l[25u^5/2-23u^3/2r]1^d^2+1 = 45l[(d^2+1)^5/2-1r] - 43l[(d^2+1)^3/2-1r]

Passo 6

Reorganizando, obtemos a resposta final:
integralCf,ds =45(d^2+1)^5/2 -43(d^2+1)^3/2 +815

Resposta

integralCf,ds =45(d^2+1)^5/2 -43(d^2+1)^3/2 +815

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