Represente geometricamente o domínio das funções abaixo.
f(x, y)=raizy sen x

Passo 1

O enunciado pede a representação geométrica do domínio da função
f(x,y)=raizy,sen x
Estamos em análise de domínio de função real de duas variáveis. Para existir valor real sob a raiz, o radicando deve ser não-negativo.

Passo 2

Escrevemos a condição de existência da raiz:
y,sen x ;>=;0
Isso garante que o valor dentro de raizcdot não seja negativo.

Passo 3

Para entender y,sen x>=0, separamos por casos segundo o sinal de sen x:
  • Quando sen x>0, exige-se y>=0.
  • Quando sen x<0, exige-se y<=0.
  • Quando sen x=0, temos y,sen x=0 para qualquer y, ficando sempre permitido.

Passo 4

Sabemos que
sen x>=0Long<=ftrightarrow xin[2kpi,,(2k+1)pi](kinZ),
sen x<=0Long<=ftrightarrow xin[(2k-1)pi,,2kpi](kinZ)
Logo, para cada kinZ:
  • Em xin[2kpi,(2k+1)pi] o domínio permite y>=0.
  • Em xin[(2k-1)pi,2kpi] o domínio permite y<=0.
    As retas x=kpi ficam inteiramente no domínio pois aí sen x=0.

Passo 5

Geometricamente, o domínio é a união de faixas verticais infinitas, em faixas onde sen x é positiva com o semi-plano y>=0, e em faixas onde sen x é negativa com o semi-plano y<=0, incluindo as fronteiras x=kpi.

Resposta

O domínio é
D=l(x,y)inR^2 mid y,sen x>=0r,
isto é, a união das faixas verticais
xin[2kpi,(2k+1)pi],;y>=0, xin[(2k-1)pi,2kpi],;y<=0, kinZ,
com as linhas x=kpi inteiramente incluídas.

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