Calcule a integral de linha quando e é o arco de exponencial entre os pontos e
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar ao longo do arco definido por indo do ponto ao ponto . O conteúdo aplicado é a definição de integral de linha de função escalar:
onde r(t) é uma parametrização de C.
Passo 2
Parametrizamos o arco C usando a própria variável y. Como x=e^y e y varia de 0 até L, escolhemos
r(y)=l(e^y,,yr), yin[0,L]
Passo 3
Calculamos r'(y), seu comprimento e o valor de f em r(y):
r'(y)=l(e^y,,1r),
llVert r'(y)rrVert=raiz(e^y)^2+1=raize^2y+1,
fl(r(y)r)=e^y,e^y=e^2y
Passo 4
Substituindo na integral de linha, temos
integralCf,ds =integral0^Le^2y,raize^2y+1;dy
Passo 5
Para simplificar, fazemos a troca de variável
u=e^yRightarrow du=e^ydyRightarrow dy=duu,
e os limites passam de y=0mapsto u=1 e y=Lmapsto u=e^L. A integral torna-se