Calcule a integral de linha integralC f d s quando f(x, y)=x e^y e C é o arco de exponencial x=e^y entre os pontos (1,0) e (e, L)

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar f(x,y)=x e^y ao longo do arco C definido por x=e^y indo do ponto (1,0) ao ponto (e,L). O conteúdo aplicado é a definição de integral de linha de função escalar:
integralCf,ds ;=;integrala^bfl(r(t)r),llVert r'(t)rrVert,dt,
onde r(t) é uma parametrização de C.

Passo 2

Parametrizamos o arco C usando a própria variável y. Como x=e^y e y varia de 0 até L, escolhemos
r(y)=l(e^y,,yr), yin[0,L]

Passo 3

Calculamos r'(y), seu comprimento e o valor de f em r(y):
r'(y)=l(e^y,,1r),
llVert r'(y)rrVert=raiz(e^y)^2+1=raize^2y+1,
fl(r(y)r)=e^y,e^y=e^2y

Passo 4

Substituindo na integral de linha, temos
integralCf,ds =integral0^Le^2y,raize^2y+1;dy

Passo 5

Para simplificar, fazemos a troca de variável
u=e^yRightarrow du=e^ydyRightarrow dy=duu,
e os limites passam de y=0mapsto u=1 e y=Lmapsto u=e^L. A integral torna-se
integral1^e^Lu^2,raizu^2+1;duu =integral1^e^Lu,raizu^2+1;du

Passo 6

Para calcular integral uraizu^2+1,du, usamos t=u^2+1, então dt=2u,du e u,du=tfracdt2. Assim
integral uraizu^2+1,du =12integral t^1/2,dt =12cdot23t^3/2 =13(u^2+1)^3/2+C

Passo 7

Voltando à integral definida, obtemos
integral1^e^Lu,raizu^2+1;du =13l[(u^2+1)^3/2r]1^e^L =13l((e^2L+1)^3/2-(1^2+1)^3/2r)
Como (1^2+1)^3/2=2^3/2=2raiz2, a resposta final é

Resposta

13l((e^2L+1)^3/2-2raiz2r)

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