a) Prove que existe
tal que
para
.
b) Calcule
b) Calcule
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) mostrar que existe tal que, para todo
com
, vale
(a) mostrar que existe
(b) calcular
Vamos usar desigualdades clássicas envolvendo
e
perto de zero e, no item (b), o desenvolvimento em série de Taylor ou regra de l’Hôpital.
Passo 2
Provar
.
Para sabemos pela geometria (ou por comparação com o arco de círculo) que
Para
logo
Para
basta notar que
e
são ambos negativos e, dividindo por
, a desigualdade mantém o sinal:
Portanto, para todo
vale
.
Passo 3
Provar
, i.e.\
.
Considere a função
Considere a função
Temos
e
Para
o produto
é positivo, logo
. Isso faz
estritamente crescente, de modo que para
tem-se
, e para
também
. Mas em ambos os casos
equivale a
Subtraindo 1 de cada lado,
Passo 4
Concluímos que, para
com
(ou qualquer
), as duas desigualdades do item (a) valem simultaneamente:
Passo 5
Calcular
.
Usando a expansão de Taylor em torno de zero,
Usando a expansão de Taylor em torno de zero,
logo
Dividindo por
,
Resposta
a) Podemos escolher, por exemplo,
r=pi . Então para todo
0<|x|<pi vale
b)