a) Prove que existe r>0 tal que
cos x-1<sin xx-1<0
para 0<|x|<r.
b) Calcule
lim x 0 x-sin xx^2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) mostrar que existe r>0 tal que, para todo xneq0 com lvert xrvert<r, vale
cos x - 1 ;<;sin xx-1;<;0
(b) calcular
limxto0x-sin xx^2
Vamos usar desigualdades clássicas envolvendo sin x e cos x perto de zero e, no item (b), o desenvolvimento em série de Taylor ou regra de l’Hôpital.

Passo 2

Provar sin xx-1<0.
Para x>0 sabemos pela geometria (ou por comparação com o arco de círculo) que
sin x < x,
logo
sin xx<1 implies sin xx-1<0
Para x<0 basta notar que sin x e x são ambos negativos e, dividindo por x, a desigualdade mantém o sinal:
sin xx<1 implies sin xx-1<0
Portanto, para todo 0<|x|<pi vale sin xx-1<0.

Passo 3

Provar cos x - 1 < sin xx-1, i.e.\ cos x<sin xx.
Considere a função
h(x)=sin x - xcos x
Temos h(0)=0 e
h'(x)=cos x -cos x + xsin x = xsin x
Para 0<|x|<pi o produto xsin x é positivo, logo h'(x)>0. Isso faz h estritamente crescente, de modo que para x>0 tem-se h(x)>h(0)=0, e para x<0 também h(x)<h(0)=0. Mas em ambos os casos h(x)>0 equivale a
sin x > xcos x Longrightarrow sin xx>cos x
Subtraindo 1 de cada lado,
sin xx-1 > cos x -1

Passo 4

Concluímos que, para 0<|x|<r com r=pi (ou qualquer rin(0,pi)), as duas desigualdades do item (a) valem simultaneamente:
cos x -1 < sin xx-1 <0

Passo 5

Calcular limxto0x-sin xx^2.
Usando a expansão de Taylor em torno de zero,
sin x = x - x^36 + O(x^5),
logo
x-sin x = x^36 + O(x^5)
Dividindo por x^2,
x-sin xx^2 = x^3/6 + O(x^5)x^2 = x6 + O(x^3) ;xrightarrow[xto0];0

Resposta

a) Podemos escolher, por exemplo, r=pi. Então para todo 0<|x|<pi vale
cos x -1<sin xx-1<0
b)
limx 0x-sin xx^2 = 0

Exercícios relacionados