Questão 2
Seja
uma forma diferencial e
um difeomorfismo de classe
. Provar que
é fechada se e somente se
é fechada.
Passo 1
Vamos provar que uma forma diferencial ω é fechada se e só se o pullback g*ω é fechado, usando a propriedade de comutação entre derivada exterior e pullback.
Passo 2
Lembramos que para qualquer aplicação suave φ e qualquer forma diferencial ω vale a identidade
Essa é uma propriedade padrão no cálculo exterior, válida pois φ é C^∞.
Passo 3
Primeiro, suponha que ω seja fechada, ou seja, dω = 0. Então aplicando g* na identidade acima obtemos
logo g^*ω também é fechada.
Passo 4
Agora, para a recíproca, note que g é difeomorfismo, então g^{-1} também é C^∞ e seu pullback inverte o de g. Se g^*ω é fechada, d(g^ω)=0 e aplicando (g{-1}) temos
Portanto ω é fechada.
Passo 5
Com isso mostramos as duas implicações e concluímos a equivalência desejada.
Resposta
ω é fechada se e somente se g^*ω é fechada, pois pullback comuta com derivada exterior e g é difeomorfismo.