Questão 2

Seja omega uma forma diferencial e g um difeomorfismo de classe C^infty. Provar que omega é fechada se e somente se g^* omega é fechada.

Passo 1

Vamos provar que uma forma diferencial ω é fechada se e só se o pullback g*ω é fechado, usando a propriedade de comutação entre derivada exterior e pullback.

Passo 2

Lembramos que para qualquer aplicação suave φ e qualquer forma diferencial ω vale a identidade
d(varphi^*omega) = varphi^*(domega)
Essa é uma propriedade padrão no cálculo exterior, válida pois φ é C^∞.

Passo 3

Primeiro, suponha que ω seja fechada, ou seja, dω = 0. Então aplicando g* na identidade acima obtemos
d(g^*omega) = g^*(domega) = g^*(0) = 0,
logo g^*ω também é fechada.

Passo 4

Agora, para a recíproca, note que g é difeomorfismo, então g^{-1} também é C^∞ e seu pullback inverte o de g. Se g^*ω é fechada, d(g^ω)=0 e aplicando (g{-1}) temos
(g^-1)^*(d(g^*omega)) = d((g^-1)^*(g^*omega)) = domega = 0
Portanto ω é fechada.

Passo 5

Com isso mostramos as duas implicações e concluímos a equivalência desejada.

Resposta

ω é fechada se e somente se g^*ω é fechada, pois pullback comuta com derivada exterior e g é difeomorfismo.

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