Calcule a integral de linha integralgamma F cdot d r onde a curva gamma é dada.
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Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de
F(x,y) = (x y,3 y²) ao longo de γ(t) = (11 t⁴, t³), t∈[0,1]. O conteúdo aqui é integral de linha em campo vetorial, e vamos precisar: a parametrização da curva, a derivada γ′(t), avaliar F em γ(t), fazer o produto escalar e integrar de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, calculo a derivada da parametrização:
A curva é γ(t) = (11 t⁴, t³), logo
γ'(t) = (d/dt[11 t⁴], d/dt[t³]) = (44 t³, 3 t²) ³³²

Passo 3

Agora avalio o campo F em γ(t):
F(γ(t)) = ( x y , 3 y² )|x=11 t⁴, y=t³ = (11 t⁴·t³, 3 (t³)²) = (11 t⁷, 3 t⁶) ²³³³²

Passo 4

Faço o produto escalar F(γ(t))·γ’(t):
F(γ(t))·γ'(t) = (11 t⁷)(44 t³) + (3 t⁶)(3 t²) = 484 t^10 + 9 t⁸ ³²

Passo 5

Finalmente, integro de t=0 até t=1:
∫0^1 (484 t^10 + 9 t⁸) dt = 484 t^1111|0^1 + 9 t^99|0^1 = 44 + 1 = 45

Resposta

45

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