Calcule a integral de linha integralgamma F cdot d r onde a curva gamma é dada.
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Passo 1

O problema pede a integral de linha de um campo vetorial, ou seja, calcular integralgamma Fcdot dvec r. O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial em R^3, para isso precisamos parametrizar a curva, achar dvec r, substituir na expressão de F e fazer a integral escalar resultante.

Passo 2

Primeiro, parametrize a curva e calcule o vetor diferencial. Temos
gamma(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (t^3, -t^2, t)
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dvec rdt = l(x'(t), y'(t), z'(t)r) = (3t^2, -2t, 1)

Passo 3

Em seguida, substitua a parametrização em F(x,y,z)=(sin x, cos y, xz). Assim,
Fl(gamma(t)r) = (sin(t^3), cos(-t^2), t^3cdot t) = (sin(t^3), cos(t^2), t^4)

Passo 4

Agora faça o produto escalar
Fl(gamma(t)r)cdot dvec rdt = 3t^2,sin(t^3) - 2t,cos(t^2) + t^4
A integral de linha fica
integral0^1 l(3t^2,sin(t^3) - 2t,cos(t^2) + t^4r) ,dt

Passo 5

Para calcular, note que
  • 3t^2,sin(t^3) = -ddt[cos(t^3)],
  • -2t,cos(t^2) = -ddt[sin(t^2)],
  • t^4 integra diretamente.
    Assim separamos em três integrais:
integral0^1 3t^2,sin(t^3),dt = 1 - cos(1),
integral0^1 (-2t,cos(t^2)),dt = -sin(1),
integral0^1 t^4,dt = 15

Passo 6

Somando tudo, obtemos
integralgamma Fcdot dvec r = (1-cos(1)) + (-sin(1)) + 15 = 65 - cos(1) - sin(1)

Resposta

integralgamma Fcdot dvec r = 65 - cos(1) - sin(1).

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