Calcule a integral de linha integralgamma F cdot d r onde a curva gamma é dada.
F(x, y, z)=(x+y, y-z, z^2), gamma(t)=(t^2, t^3, t^2), t in[0,1]\

Passo 1

Resumindo o enunciado: calcular a integral de linha
integralgammavec Fcdot dvec r
do campo vetorial
vec F(x,y,z)=(x+y,;y-z,;z^2)
ao longo da curva
gamma(t)=(t^2,;t^3,;t^2), tin[0,1].
O conteúdo é integral de linha de campos vetoriais e vamos usar a definição
integralgammavec Fcdot dvec r = integral0^1vec F(vec r(t))cdot vec r,'(t),dt.

Passo 2

Calculamos primeiro vec r,'(t) e depois vec F(vec r(t)).
Derivando vec r(t) temos
vec r,'(t)=(2t,;3t^2,;2t)
Substituindo vec r(t) em vec F obtém-se
vec F(vec r(t)) =(t^2+t^3,;t^3-t^2,;t^4) =(t^2(1+t),;t^2(t-1),;t^4)
O produto interno fica
vec F(vec r(t))cdot vec r,'(t) =2t,(t^2+t^3)+3t^2,(t^3-t^2)+2tcdot t^4 =2t^3+2t^4+3t^5-3t^4+2t^5 =2t^3 - t^4 + 5t^5

Passo 3

Integramos de 0 a 1:
integral0^1l(2t^3 - t^4 + 5t^5r),dt =[2t^44-t^55+5t^66]0^1 =12-15+56 =1715

Resposta

1715

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