Se gamma(t) é uma curva suave com t in[a, b], e v é um vetor constante, mostre que
integralgamma v cdot d r=v cdot[gamma(b)-gamma(a)]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma curva suave gammacolon [a,b]to R^n e um vetor constante v, vale
integralgamma vcdot dr ;=;vcdotl[gamma(b)-gamma(a)r]
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial constante e uso do Teorema Fundamental do Cálculo para curvas.

Passo 2

Por definição, a integral de linha de um campo vetorial F(r) ao longo de gamma é
integralgammaFcdot dr =integrala^bFl(gamma(t)r)cdotgamma'(t),dt
No nosso caso F(r)=v é constante, logo
integralgammavcdot dr =integrala^bvcdotgamma'(t),dt

Passo 3

Como v não depende de t, podemos colocá-lo fora da integral (propriedade da bilinearidade do produto escalar):
integrala^bvcdotgamma'(t),dt =vcdotintegrala^bgamma'(t),dt

Passo 4

Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo aplicado ao vetor gamma(t):
integrala^bgamma'(t),dt =gamma(b)-gamma(a)
Substituindo na expressão anterior, obtém-se
vcdotintegrala^bgamma'(t),dt =vcdotl[gamma(b)-gamma(a)r]

Resposta

integralgammavcdot dr =vcdotl[gamma(b)-gamma(a)r]

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