Determine se os campos vetoriais a seguir são ou não conservativos, em caso afirmativo encontre a função varphi tal que nabla varphi=F.
F(x, y)=(ln (y)+2 x y^3, 3 x^2 y^2+x / y)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r)
com
P(x,y) = ln(y) + 2x,y^3, Q(x,y) = 3x^2y^2 + xy
O conteúdo aqui é determinar se F é conservativo em y>0 usando a condição
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x,
e, em caso afirmativo, encontrar varphi tal que nablavarphi=F.

Passo 2

Calculamos
partial Ppartial y = ddy[ln(y)] ;+; 2xcdot 3y^2 = 1y + 6x,y^2,
e
partial Qpartial x = ddx[3x^2y^2] ;+; ddxl(xyr) = 6x,y^2 + 1y

Passo 3

Como
partial Ppartial y = 1y + 6x,y^2 e partial Qpartial x = 6x,y^2 + 1y,
vemos que partial P/partial y = partial Q/partial x em todo o domínio y>0 (que é aberto e simplesmente conexo). Portanto F é conservativo.

Passo 4

Para achar a potencial varphi, integramos P em relação a x:
varphi(x,y) = integrall(ln(y) + 2x,y^3r),dx = xln(y) + x^2y^3 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Calculamos partial varphi/partial y e igualamos a Q:
partial varphipartial y = xcdot1y + 3x^2y^2 + h'(y) ;stackrel!=; 3x^2y^2 + xy
Dessa igualdade segue h'(y)=0, logo h(y)=C constante.

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial é
varphi(x,y) = xln(y) + x^2y^3 + C

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