Calcule a integral de linha:
a) integralgamma x y^4 d s, gamma é a metade direita do círculo x^2+y^2=16.
b) integralgamma x e^y z d s, gamma é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3).
R: a) 1638,4 b) raiz14(e^6-1) / 12

Passo 1

O exercício pede para calcular integrais de linha do tipo ∫_γ f (x,y,z) ds em duas curvas diferentes. O conteúdo é integração de funções escalares ao longo de curvas, para o qual precisamos parametrizar a curva, calcular ds a partir de γ˙(t) e então integrar f(γ(t))|γ˙(t)| dt.

Passo 2

Para a parte (a), γ é a metade direita do círculo x²+y²=16. Parametrizamos por
x=4cos t, y=4sin t, tin[-tfracpi2,tfracpi2]
Então
γ'(t)=(-4sin t,,4cos t),
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ds=|γ'(t)|dt=4dt
A integral vira
∫-pi/2^pi/2 x y^4 ,ds =∫-pi/2^pi/2 (4cos t)(4sin t)^4cdot4,dt =4096∫-pi/2^pi/2 cos tsin^4 t,dt
Como o integrando é par, usamos duas vezes a integral de 0 a π/2 e fazemos a substituição u=sin t, du=cos t dt, obtendo
[
4096\cdot2\int_0^{\pi/2}\cos t\sin^4 t,dt
=8192\int_0^1 u^4,du
=8192\cdot\tfrac{1}{5}
=1638{,}4.

Passo 3

Para a parte (b), γ é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3). Parametrizamos por
γ(t)=(t,2t,3t), tin[0,1]
Então γ’(t)=(1,2,3) e
ds=|γ'(t)|dt=raiz1+4+9,dt=raiz14,dt
A integral é
∫0^1 x e^yz,ds =∫0^1 t e^(2t)(3t),raiz14,dt =raiz14∫0^1 t e^6t^2,dt
Fazendo u=6t², du=12t dt, de 0 a 6,
[
\sqrt{14}∫_0^1 t e{6t2},dt
=\sqrt{14}\cdot\frac{1}{12}∫_0^6 e^u,du
=\frac{\sqrt{14}}{12}(e^6-1).

Resposta

a) 1638{,}4
b) tfracraiz1412(e^6-1)

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