Calcule a integral de linha:
a)
é a metade direita do círculo
.
b)
é o segmento de reta de
a
.
R: a) 1638,4 b)
a)
b)
Passo 1
O exercício pede para calcular integrais de linha do tipo ∫_γ f (x,y,z) ds em duas curvas diferentes. O conteúdo é integração de funções escalares ao longo de curvas, para o qual precisamos parametrizar a curva, calcular ds a partir de γ˙(t) e então integrar f(γ(t))|γ˙(t)| dt.
Passo 2
Para a parte (a), γ é a metade direita do círculo x²+y²=16. Parametrizamos por
Então
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A integral vira
Como o integrando é par, usamos duas vezes a integral de 0 a π/2 e fazemos a substituição u=sin t, du=cos t dt, obtendo
[
4096\cdot2\int_0^{\pi/2}\cos t\sin^4 t,dt
=8192\int_0^1 u^4,du
=8192\cdot\tfrac{1}{5}
=1638{,}4.
4096\cdot2\int_0^{\pi/2}\cos t\sin^4 t,dt
=8192\int_0^1 u^4,du
=8192\cdot\tfrac{1}{5}
=1638{,}4.
Passo 3
Para a parte (b), γ é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3). Parametrizamos por
Então γ’(t)=(1,2,3) e
A integral é
Fazendo u=6t², du=12t dt, de 0 a 6,
[
\sqrt{14}∫_0^1 t e{6t2},dt
=\sqrt{14}\cdot\frac{1}{12}∫_0^6 e^u,du
=\frac{\sqrt{14}}{12}(e^6-1).
\sqrt{14}∫_0^1 t e{6t2},dt
=\sqrt{14}\cdot\frac{1}{12}∫_0^6 e^u,du
=\frac{\sqrt{14}}{12}(e^6-1).
Resposta
a) 1638{,}4
b)
b)