Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:

Passo 1

O exercício pede a derivada de f(x)=(3x^2+1)^3 usando a regra da cadeia. O conteúdo é derivada de função composta, e vamos usar a ideia de separar a função em uma parte interna e outra externa.

Passo 2

Definimos a função interna u(x)=3x^2+1 e a externa g(u)=u^3. Assim temos f(x)=g(u(x)).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
• A derivada da externa em relação a u é g'(u)=3u^2.
• A derivada da interna em relação a x é u'(x)=6x.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia, que diz que f'(x)=g'(u(x))cdot u'(x). Dessa forma:
f'(x)=3l(u(x)r)^2cdot6x=3l(3x^2+1r)^2cdot6x

Passo 5

Por fim, simplificamos o coeficiente:
f'(x)=18x,(3x^2+1)^2

Resposta

f'(x)=18x,(3x^2+1)^2

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