Calcule a integral de linha ao longo de C .
integralC y d x+z d y+x d t, onde C é o gráfico de x= sent, y=2 sent, z=sen^2 t, 0 <= t <= pi2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha da 1-forma
omega = y,dx + z,dy + x,dt
ao longo da curva C dada por
x(t)=sin t, y(t)=2sin t, z(t)=sin^2 t, 0<= t<= tfracpi2
O conteúdo envolvido é integral de linha em parametrização: vamos usar dx=x'(t),dt, dy=y'(t),dt e escrever tudo em função de t.

Passo 2

Calculemos as derivadas:
x'(t)=cos t, y'(t)=2cos t
Substituindo em omega e passando para integral em t, obtemos
integralC y,dx+z,dy+x,dt =integral0^pi/2l[y(t),x'(t)+z(t),y'(t)+x(t)r],dt
Agora plugamos x,y,z:
y,x'=2sin tcdotcos t, z,y'=sin^2 tcdot2cos t, x=sin t

Passo 3

O integrando fica
2sin tcos t ;+;2sin^2 tcos t;+;sin t
Use as identidades
2sin tcos t=sin2t, 2sin^2 tcos t =23,ddt(sin^3 t),
para escrever
integral0^pi/2l(sin2t +23,ddtsin^3 t +sin tr)dt

Passo 4

Integramos termo a termo:
integralsin2t,dt=-tfrac12cos2t, integral23,ddtsin^3 t,dt=23sin^3 t, integralsin t,dt=-cos t
Logo a primitiva geral é
-tfrac12cos2t+23sin^3 t-cos t
Avaliando de 0 a tfracpi2:
em t=tfracpi2
;-tfrac12cospi+tfrac23cdot1^3-costfracpi2 =tfrac12+tfrac23+0=tfrac76
em t=0
;-tfrac12cos0+tfrac23cdot0^3-cos0 =-tfrac12-1=-tfrac32
Subtraindo, o valor da integral é
tfrac76-l(-tfrac32r) =tfrac76+tfrac96 =tfrac166 =tfrac83

Resposta

83

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