Determine a área da superfície. Faça um esboço da superfície dada.
A parte do parabolóide z=x^2+y^2 que está abaixo do plano z=9;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da superfície da parte do parabolóide z = x^2 + y^2 que está abaixo do plano z = 9 . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração de funções de duas variáveis para encontrar áreas de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície que estamos lidando. O parabolóide z = x^2 + y^2 é uma curva tridimensional que abre para cima. Queremos encontrar a área dessa superfície que está abaixo do plano z = 9 . Isso significa que estamos interessados na região onde x^2 + y^2 <= 9 .

Passo 3

Para calcular a área de uma superfície definida por z = f(x, y) , usamos a fórmula da área de superfície dupla:
Área = integral duplaD raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy Á
Onde D é a região no plano xy sobre a qual estamos integrando.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y :
partial zpartial x = 2x e partial zpartial y = 2y
Substituindo essas na fórmula da área:
Área = integral duplaD raiz1 + (2x)^2 + (2y)^2 , dx , dy = integral duplaD raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , dx , dy Á

Passo 5

A região D onde x^2 + y^2 <= 9 é um círculo de raio 3 no plano xy . Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde:
x = r costheta e y = r sintheta
E o elemento de área dx , dy se transforma em r , dr , dtheta .

Passo 6

Substituindo em coordenadas polares, a expressão para a área fica:
Área = integral0^2pi integral0^3 raiz1 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta Á
Aqui, r varia de 0 a 3 (o raio do círculo) e theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^3 r raiz1 + 4r^2 , dr
Fazendo uma substituição u = 1 + 4r^2 , então du = 8r , dr , ou seja, r , dr = du8 .
Reescrevendo a integral:
18 integralu=1^u=1+4(3)^2 raizu , du = 18 integral1^37 u^1/2 , du
Integrando:
18 cdot 23 u^3/2 |1^37 = 112 (37^3/2 - 1^3/2)

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Área = integral0^2pi 112 (37^3/2 - 1) , dtheta = 112 (37^3/2 - 1) integral0^2pi dtheta Á
Calculando a integral de theta :
integral0^2pi dtheta = 2pi
Portanto:
Área = 2pi12 (37^3/2 - 1) = pi6 (37^3/2 - 1) Á

Resposta

A área da superfície da parte do parabolóide z = x^2 + y^2 abaixo do plano z = 9 é:
Área = pi6 (37^3/2 - 1) approx 117,4 , unidades de área Áá

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