Determine a área da superfície. Faça um esboço da superfície dada.
A parte do parabolóide que está abaixo do plano ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da superfície da parte do parabolóide que está abaixo do plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração de funções de duas variáveis para encontrar áreas de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície que estamos lidando. O parabolóide é uma curva tridimensional que abre para cima. Queremos encontrar a área dessa superfície que está abaixo do plano . Isso significa que estamos interessados na região onde .
Passo 3
Para calcular a área de uma superfície definida por , usamos a fórmula da área de superfície dupla:
Onde é a região no plano sobre a qual estamos integrando.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo essas na fórmula da área:
Passo 5
A região onde é um círculo de raio 3 no plano . Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde:
E o elemento de área se transforma em .
Passo 6
Substituindo em coordenadas polares, a expressão para a área fica:
Aqui, varia de 0 a 3 (o raio do círculo) e varia de 0 a para cobrir todo o círculo.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazendo uma substituição , então , ou seja, .
Reescrevendo a integral:
Integrando:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Área = integral0^2pi 112 (37^3/2 - 1) , dtheta = 112 (37^3/2 - 1) integral0^2pi dtheta Á
Calculando a integral de theta :
integral0^2pi dtheta = 2pi
Portanto:
Área = 2pi12 (37^3/2 - 1) = pi6 (37^3/2 - 1) Á
Resposta
A área da superfície da parte do parabolóide z = x^2 + y^2 abaixo do plano z = 9 é:
Área = pi6 (37^3/2 - 1) approx 117,4 , unidades de área Áá