Determine a área da superfície. Faça um esboço da superfície dada.
A parte da superfície que está dentro do cilindro ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da superfície definida por que está dentro do cilindro . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional. Vamos precisar calcular uma integral dupla e mudar para coordenadas polares para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a área de uma superfície pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
Aqui, é a região no plano sobre a qual estamos calculando a área.
Passo 3
No nosso caso, . Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na fórmula da área:
Passo 4
A região está limitada pelo cilindro , que é um círculo de raio 1 no plano . Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde:
O diferencial de área em coordenadas polares é , e a região corresponde a de 0 a 1 e de 0 a .
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da área:
Podemos separar as integrais, pois são independentes:
A primeira integral é simples:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Para isso, fazemos uma substituição. Deixe , então , ou seja, . A integral fica: