Determine a área da superfície. Faça um esboço da superfície dada.
A parte da superfície z=xy que está dentro do cilindro x^2+y^2=1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da superfície definida por z = xy que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional. Vamos precisar calcular uma integral dupla e mudar para coordenadas polares para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a área de uma superfície z = f(x, y) pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
A = integral duplaD raiz1 + ( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 , dx , dy
Aqui, D é a região no plano xy sobre a qual estamos calculando a área.

Passo 3

No nosso caso, z = xy . Então, vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y :
partial zpartial x = y e partial zpartial y = x
Substituindo na fórmula da área:
A = integral duplaD raiz1 + y^2 + x^2 , dx , dy

Passo 4

A região D está limitada pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 , que é um círculo de raio 1 no plano xy . Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde:
x = r cos theta e y = r sin theta
O diferencial de área em coordenadas polares é dx , dy = r , dr , dtheta , e a região D corresponde a r de 0 a 1 e theta de 0 a 2pi .

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da área:
A = integral0^2pi integral0^1 raiz1 + r^2 cdot r , dr , dtheta
Podemos separar as integrais, pois são independentes:
A = ( integral0^2pi dtheta ) cdot ( integral0^1 r raiz1 + r^2 , dr )
A primeira integral é simples:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral0^1 r raiz1 + r^2 , dr
Para isso, fazemos uma substituição. Deixe u = 1 + r^2 , então du = 2r , dr , ou seja, r , dr = du2 . A integral fica:
12 integralu=1^u=2 raizu , du = 12 cdot 23 u^3/2 |1^2 = 13 ( 2^3/2 - 1 ) = 13 ( 2raiz2 - 1 )

Passo 7

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
A = 2pi cdot 13 ( 2raiz2 - 1 ) = 2pi3 ( 2raiz2 - 1 )

Resposta

A área da superfície z = xy dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1 é:
A = 2pi3 ( 2raiz2 - 1 )

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