Resolva as desigualdades
x^3>x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
x^3 > x
Aqui estamos lidando com inequações em uma variável real; vamos precisar isolar tudo de um lado e fatorar para analisar o sinal do produto.

Passo 2

Subtraímos x de ambos os lados para obter uma única expressão:
x^3 - x > 0

Passo 3

Fatoramos a diferença de cubo e o termo comum x:
x^3 - x = x,(x^2 - 1) = x,(x-1),(x+1)
Assim a desigualdade vira
x,(x-1),(x+1) > 0

Passo 4

Os zeros do produto são as raízes de cada fator:
,x = -1,;x = 0,;x = 1
Esses pontos particionam a reta real em quatro intervalos:
(-infty,-1), (-1,0), (0,1) e (1,infty).

Passo 5

Analisando o sinal de x,(x-1),(x+1) em cada intervalo:
  • Em (-infty,-1): x<0, x-1<0, x+1<0 Rightarrow produto com três sinais negativos Rightarrow negativo.
  • Em (-1,0): x<0, x-1<0, x+1>0 Rightarrow dois negativos e um positivo Rightarrow positivo.
  • Em (0,1): x>0, x-1<0, x+1>0 Rightarrow um negativo Rightarrow negativo.
  • Em (1,infty): x>0, x-1>0, x+1>0 Rightarrow todos positivos Rightarrow positivo.
A desigualdade exige produto positivo, portanto só nos intervalos (-1,0) e (1,infty).

Resposta

(-1,,0),cup,(1,,infty)

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