1. Calcule a integral de linha de \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(2 \mathrm{x}, 3 \mathrm{y}) ao longo do segmento de (0,0) até (1,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha da campo vetorial \mathrm{F}(x,y) = (2x,\,3y) ao longo do segmento que vai do ponto (0,0) até (1,2).
Informações dadas:
  • Campo vetorial: \mathrm{F}(x,y) = (2x,\,3y).
  • Curva: segmento de reta que liga (0,0) a (1,2).
  • Orientação: do ponto (0,0) para (1,2) (isto é, sentido indicado pelo enunciado).
  • O que é pedido: o valor numérico da integral de linha \displaystyle \int_{C} \mathrm{F}\cdot d\mathbf{r} ao longo desse segmento.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): a integral de linha de um campo vetorial \mathrm{F} ao longo de uma curva C é definida por
\int_{C} \mathrm{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b} \mathrm{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt,
onde \mathbf{r}(t) é uma parametrização da curva C para t\in[a,b], \mathbf{r}'(t) é a derivada (velocidade), e o produto \mathrm{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) é o produto escalar entre os vetores. Vou explicar cada parte quando usarmos.

Passo 3

Parametrização do segmento: para um segmento de reta entre (0,0) e (1,2) podemos usar a parametrização linear
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))=(t,\,2t),\qquad t\in[0,1].
Por que isso funciona? Porque em t=0 temos \mathbf{r}(0)=(0,0) e em t=1 temos \mathbf{r}(1)=(1,2). É a interpolação linear usual entre os pontos.
Calculemos a derivada (vetor velocidade):
\mathbf{r}'(t)=(1,\,2).

Passo 4

Substituir na expressão do campo: avaliamos \mathrm{F} ao longo da curva, isto é \mathrm{F}(\mathbf{r}(t)).
\mathrm{F}(\mathbf{r}(t))=\mathrm{F}(t,2t)=(2t,\,3\cdot 2t)=(2t,\,6t).
Agora o produto escalar \mathrm{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t):
(2t,\,6t)\cdot(1,\,2)=2t\cdot 1 + 6t\cdot 2 = 2t + 12t = 14t.

Passo 5

Montamos e calculamos a integral:
\int_{C}\mathrm{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{1} 14t\,dt.
Agora integramos 14t: a primitiva de t é t^{2}/2, então
\int_{0}^{1} 14t\,dt = 14\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 14\cdot\frac{1}{2} - 14\cdot 0 = 7.

Passo 6

Verificação extra (método alternativo): observar que \mathrm{F}=(2x,3y) é potencial (conservativo) em todo \mathbb{R}^{2} porque as derivadas cruzadas coincidem: \partial_x(3y)=0 e \partial_y(2x)=0. Podemos achar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathrm{F}. Integrando:
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=2x \Rightarrow \varphi(x,y)=x^{2}+g(y).
Derivando em y: \frac{\partial \varphi}{\partial y}=g'(y)=3y \Rightarrow g(y)=\tfrac{3}{2}y^{2}.
Logo \varphi(x,y)=x^{2}+\tfrac{3}{2}y^{2}. A integral de linha entre os pontos é então
\varphi(1,2)-\varphi(0,0)=\left(1^{2}+\tfrac{3}{2}\cdot 2^{2}\right)-0 = 1 + \tfrac{3}{2}\cdot 4 = 1 + 6 = 7,
confirmando o resultado anterior. Essa alternativa é mais rápida quando o campo é conservativo.

Resposta

7

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