- Calcule a integral de linha de
ao longo do segmento de
até
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha da campo vetorial
ao longo do segmento que vai do ponto
até
.
Informações dadas:
- Campo vetorial:
. - Curva: segmento de reta que liga
a . - Orientação: do ponto
para (isto é, sentido indicado pelo enunciado). - O que é pedido: o valor numérico da integral de linha
ao longo desse segmento.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
é definida por
onde
é uma parametrização da curva
para
,
é a derivada (velocidade), e o produto
é o produto escalar entre os vetores. Vou explicar cada parte quando usarmos.
Passo 3
Parametrização do segmento: para um segmento de reta entre
e
podemos usar a parametrização linear
Por que isso funciona? Porque em
temos
e em
temos
. É a interpolação linear usual entre os pontos.
Calculemos a derivada (vetor velocidade):
Passo 4
Substituir na expressão do campo: avaliamos
ao longo da curva, isto é
.
Agora o produto escalar
:
Passo 5
Montamos e calculamos a integral:
Agora integramos
: a primitiva de
é
, então
Passo 6
Verificação extra (método alternativo): observar que
é potencial (conservativo) em todo
porque as derivadas cruzadas coincidem:
e
. Podemos achar uma função potencial
tal que
. Integrando:
Derivando em
:
.
Logo . A integral de linha entre os pontos é então
Logo
confirmando o resultado anterior. Essa alternativa é mais rápida quando o campo é conservativo.