A força exercida pela gravidade sobre um refrigeraddor de massa m é \vec{F}=-m g \vec{k}.
(a) Determine o trabalho realizado por essa força em deslocamento do ponto ( 1,0,0 ) ao ponto ( 1,0,2 \pi ) ao longo da curva \alpha dada por \alpha(t)=(\cos (t), \operatorname{sen}(t), t), calculando a integral de linha correspondente.
(b) \vec{F} é conservativo ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força da gravidade
\vec{F}(x,y,z) = -m g\,\vec{k}
ao longo da curva \alpha(t)=(\cos t,\;\operatorname{sen} t,\;t) que vai do ponto (1,0,0) até (1,0,2\pi).
O conteúdo envolvido é integral de linha de um campo vetorial e teste de conservatividade (potencial escalar e rotor).

Passo 2

Para calcular o trabalho usamos
\;W = \int_C \vec{F}\cdot d\vec r = \int_{t_0}^{t_1} \vec{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)\,dt.
Aqui t_0=0 e t_1=2\pi. Primeiro calculamos
\alpha'(t) = (-\operatorname{sen} t,\;\cos t,\;1).
Como \vec{F} é constante, em \alpha(t) temos
\vec{F}(\alpha(t)) = (0,0,-m g).

Passo 3

O produto escalar é
\vec{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t) = (0,0,-m g)\cdot(-\operatorname{sen} t,\cos t,1) = -m g.
Logo
W = \int_{0}^{2\pi}(-m g)\,dt = -m g\int_{0}^{2\pi}dt = -2\pi\,m g.

Passo 4

Para saber se \vec{F} é conservativo, examinamos o rotor em \R^3:
\nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\\ 0 & 0 & -m g \end{vmatrix} = \mathbf{0}.
Como o domínio \R^3 é simplesmente conexo e \nabla\times\vec{F}=\mathbf{0}, existe potencial escalar \varphi(x,y,z) tal que \vec{F}=-\nabla\varphi. Por exemplo,
\varphi(x,y,z)=m g z \quad\Longrightarrow\quad -\nabla\varphi=(0,0,-m g)=\vec{F}.
Portanto \vec{F} é conservativo.

Resposta

(a) \;W = -2\pi\,m g.
(b) Sim. Tem \nabla\times\vec{F}=\mathbf{0} em \R^3 simplesmente conexo e admite potencial \varphi(x,y,z)=m g z, logo é conservativo.

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