Calcule a integral de linha
\oint_{C} \overrightarrow{\mathbf{F}} \bullet d \overrightarrow{\mathbf{r}}
, onde C é descrita pela função vetorial
\overrightarrow{\mathbf{r}}
.
\overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y, z)=\operatorname{sen} x \overrightarrow{\mathbf{i}}+\cos y \overrightarrow{\mathbf{j}}+x z \overrightarrow{\mathbf{k}} onde \overrightarrow{\mathbf{r}}(t)=t^{3} \overrightarrow{\mathbf{i}}-t^{2} \overrightarrow{\mathbf{j}}+t \overrightarrow{\mathbf{k}}, com 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
onde
F(x,y,z) = sin x,i + cos y,j + xz,k
e a curva C é dada pela parametrização
r(t) = t^3,i - t^2,j + t,k, 0<= t<=1
Vamos usar a fórmula da integral de linha em termos de parâmetro:
integralCFcdot dr = integral0^1F(r(t))cdot r,'(t),dt

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada da parametrização:
r,'(t) = ddtl(t^3,-t^2,tr) = l(3t^2,,-2t,,1r)
Em seguida, obtemos F(r(t)):
F(r(t)) = l(sin(t^3),,cos(-t^2),,t^3cdot tr) = l(sin(t^3),,cos(t^2),,t^4r)

Passo 3

Formamos o produto escalar F(r(t))cdot r,'(t):
Fcdot r,' = sin(t^3)cdot 3t^2 ;+;cos(t^2)cdot(-2t);+;t^4cdot1 = 3t^2sin(t^3) - 2tcos(t^2) + t^4

Passo 4

Observamos que as duas primeiras parcelas são derivadas de funções compostas:
ddtl(cos(t^3)r) = -3t^2sin(t^3), ddtl(sin(t^2)r) = 2tcos(t^2)
Logo podemos reescrever o integrando como
3t^2sin(t^3) - 2tcos(t^2) + t^4 = -ddtl(cos(t^3)r) - ddtl(sin(t^2)r) + t^4
Assim,
integral0^1l(3t^2sin(t^3) - 2tcos(t^2) + t^4r),dt = integral0^1l[-ddtl(cos(t^3)r) - ddtl(sin(t^2)r)r]dt + integral0^1t^4,dt

Passo 5

Integramos cada parte separadamente:
integral0^1l[-ddtl(cos(t^3)r)r]dt = -l[cos(t^3)r]0^1 = -l(cos(1)-cos(0)r) = 1 - cos(1),
integral0^1l[-ddtl(sin(t^2)r)r]dt = -l[sin(t^2)r]0^1 = -l(sin(1)-sin(0)r) = -sin(1),
integral0^1t^4,dt = [t^55]0^1 = 15
Somando tudo, a integral vale
1 - cos(1) ;-;sin(1);+;15 = 65 ;-;cos(1);-;sin(1)

Resposta

integralCFcdot dr = 65 ;-;cos(1);-;sin(1)

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