Calcule a integral de linha
\oint_{C} \overrightarrow{\mathbf{F}} \bullet d \overrightarrow{\mathbf{r}}
, onde
é descrita pela função vetorial
\overrightarrow{\mathbf{r}}
.
\overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y, z)=\operatorname{sen} x \overrightarrow{\mathbf{i}}+\cos y \overrightarrow{\mathbf{j}}+x z \overrightarrow{\mathbf{k}} onde \overrightarrow{\mathbf{r}}(t)=t^{3} \overrightarrow{\mathbf{i}}-t^{2} \overrightarrow{\mathbf{j}}+t \overrightarrow{\mathbf{k}}, com
\oint_{C} \overrightarrow{\mathbf{F}} \bullet d \overrightarrow{\mathbf{r}}
, onde
\overrightarrow{\mathbf{r}}
.
\overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y, z)=\operatorname{sen} x \overrightarrow{\mathbf{i}}+\cos y \overrightarrow{\mathbf{j}}+x z \overrightarrow{\mathbf{k}} onde \overrightarrow{\mathbf{r}}(t)=t^{3} \overrightarrow{\mathbf{i}}-t^{2} \overrightarrow{\mathbf{j}}+t \overrightarrow{\mathbf{k}}, com
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e a curva
é dada pela parametrização
Vamos usar a fórmula da integral de linha em termos de parâmetro:
Passo 2
Calculamos primeiro a derivada da parametrização:
Em seguida, obtemos
:
Passo 3
Formamos o produto escalar
:
Passo 4
Observamos que as duas primeiras parcelas são derivadas de funções compostas:
Logo podemos reescrever o integrando como
Assim,
Passo 5
Integramos cada parte separadamente:
Somando tudo, a integral vale