As fórmulas r1(t)=(t, t), 0 <= t <= 1, e r2(t)=(e^t-1, e^t-1), 0 <= t <= ln 2, definem duas parametrizações distintas para o segmento de reta que vai de (0,0) a (1,1). Use cada uma delas para determinar o trabalho realizado pelo campo F(x, y)=(x+2 y) i+(x-y) j. A resposta é a mesma para as duas parametrizações? Isto quer dizer que o campo F é conservativo?

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças
F(x,y) = (x+2y),i + (x-y),j
e duas parametrizações do mesmo segmento de reta de (0,0) a (1,1):
r1(t) = (t,t), 0<= t<=1, e
r2(t) = (e^t-1,e^t-1), 0<= t<=ln2.
Pede-se calcular o trabalho
W = integralC Fcdot dr
usando cada parametrização, verificar se os resultados coincidem e decidir se F é conservativo. Para isso vamos usar a definição de integral de linha e, depois, o teste do rotacional para conservatividade.

Passo 2

Calcular o trabalho usando r1(t).
Temos
r1'(t) = (1,1),
F(r1(t)) = l(t+2t,;t-tr) = (3t,0)
O produto escalar é
F(r1(t))cdot r1'(t) = (3t,0)cdot(1,1) = 3t
Logo
W1 = integral0^1 3t,dt = tfrac32t^2|0^1 = tfrac32

Passo 3

Calcular o trabalho usando r2(t).
Temos
r2'(t) = (e^t,e^t),
F(r2(t)) = l((e^t-1)+2(e^t-1),;(e^t-1)-(e^t-1)r) = (3e^t-3,0)
O produto escalar é
(3e^t-3,0)cdot(e^t,e^t) = 3e^tcdot e^t -3cdot e^t = 3e^2t -3e^t
Portanto
W2 = integral0^ln2 l(3e^2t-3e^tr),dt = 3integral0^ln2 e^2tdt ;-;3integral0^ln2 e^t dt
Calculando cada um:
3integral e^2tdt = tfrac32e^2t, 3integral e^t dt = 3e^t,
W2 = [tfrac32e^2t-3e^t]0^ln2 = l(tfrac32cdot2^2 -3cdot2r) -l(tfrac32cdot1 -3cdot1r) = (6-6)-(tfrac32-3) = tfrac32

Passo 4

Comparando, obtemos
W1 = tfrac32, W2 = tfrac32,
ou seja, o trabalho é o mesmo para as duas parametrizações.

Passo 5

Testar se F é conservativo calculando o rotacional em R^2:
P(x,y) = x+2y, Q(x,y) = x-y,
partial Qpartial x = 1, partial Ppartial y = 2
Como
partial Qpartial x neq partial Ppartial y,
o rotacional não é zero, logo F não é um campo conservativo.

Resposta

O trabalho ao longo de qualquer das duas parametrizações é
W = tfrac32,
mas, como o rotacional de F é não nulo, F não é conservativo.

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