Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.1:
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
a)
b)
c)
d)
, onde
é um inteiro positivo
e)
f)
g)
h)
i)
j)
, onde
é um inteiro positivo
k)
l)
Seção 6.1:
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace do Capítulo 6, Seção 6.1. A gente precisa encontrar a transformada de Laplace de várias funções diferentes, de
até funções que envolvem exponenciais e trigonométricas. Para isso, vamos lembrar das definições e fórmulas básicas da Transformada de Laplace e aplicar passo a passo em cada caso.
Passo 2
a)
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Para
, temos:
Integrando:
Aplicando os limites de 0 a infinito:
Passo 3
b)
A Transformada de Laplace para
é uma das fórmulas básicas. Usamos a definição:
Para que a integral convirja, precisamos que
. Integrando:
Aplicando os limites:
Passo 4
c)
Para
, usamos a fórmula da Transformada de Laplace para
:
Aqui,
:
Passo 5
d)
, onde
é um inteiro positivo
Usando a mesma fórmula geral para
:
Assim, para qualquer inteiro positivo
:
Passo 6
e)
A Transformada de Laplace para o seno é uma fórmula padrão:
Isso ocorre porque, aplicando a definição:
Passo 7
f)
De forma similar ao seno, a Transformada de Laplace para o cosseno é:
Isso vem da integral:
Passo 8
g)
Para a função hiperbólica seno, a Transformada de Laplace é:
Isso se deve a:
Passo 9
h)
Analogamente, para o cosseno hiperbólico:
Isso vem da integral:
Passo 10
i)
Para funções que são produto de
e uma exponencial, usamos a propriedade da derivada da Transformada de Laplace:
Isso porque:
Passo 11
j)
, onde
é um inteiro positivo
Utilizando a fórmula geral para
:
Portanto, para qualquer inteiro positivo
:
Passo 12
k)
Para o produto de uma exponencial e seno, a Transformada de Laplace é:
Isso se deve à integral:
Passo 13
l)
Similar ao caso anterior, para o produto de uma exponencial e cosseno:
Isso vem da integral:
Resposta
Aqui estão as Transformadas de Laplace das funções apresentadas:
a)
b)
c)
d)
, onde
é um inteiro positivo
e)
f)
g)
h)
i)
j)
, onde
é um inteiro positivo
k)
l)