Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.1:
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
a) f(t)=1
b) f(t)=e^a t
c) f(t)=t
d) f(t)=t^n, onde n é um inteiro positivo
e) f(t)=sen b t
f) f(t)=cos b t
g) f(t)=senh b t
h) f(t)=cosh b t
i) f(t)=t e^a t
j) f(t)=t^n e^a t, onde n é um inteiro positivo
k) f(t)=e^a t sen b t
l) f(t)=e^a t cos b t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace do Capítulo 6, Seção 6.1. A gente precisa encontrar a transformada de Laplace de várias funções diferentes, de f(t) = 1 até funções que envolvem exponenciais e trigonométricas. Para isso, vamos lembrar das definições e fórmulas básicas da Transformada de Laplace e aplicar passo a passo em cada caso.

Passo 2

a) f(t) = 1
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
Para f(t) = 1 , temos:
L1 = integral0^infty e^-st cdot 1 , dt = integral0^infty e^-st , dt
Integrando:
integral e^-st , dt = -1s e^-st + C
Aplicando os limites de 0 a infinito:
L1 = [ -1s e^-st ]0^infty = 0 - ( -1s ) = 1s

Passo 3

b) f(t) = e^a t
A Transformada de Laplace para e^a t é uma das fórmulas básicas. Usamos a definição:
Le^a t = integral0^infty e^-st e^a t , dt = integral0^infty e^(a - s)t , dt
Para que a integral convirja, precisamos que s > a . Integrando:
integral e^(a - s)t , dt = 1a - s e^(a - s)t + C
Aplicando os limites:
Le^a t = [ 1a - s e^(a - s)t ]0^infty = 0 - ( 1a - s ) = 1s - a

Passo 4

c) f(t) = t
Para f(t) = t , usamos a fórmula da Transformada de Laplace para t^n :
Lt^n = n!s^n+1
Aqui, n = 1 :
Lt = 1!s^2 = 1s^2

Passo 5

d) f(t) = t^n , onde n é um inteiro positivo
Usando a mesma fórmula geral para t^n :
Lt^n = n!s^n+1
Assim, para qualquer inteiro positivo n :
Lt^n = n!s^n+1

Passo 6

e) f(t) = sin(b t)
A Transformada de Laplace para o seno é uma fórmula padrão:
Lsin(bt) = bs^2 + b^2
Isso ocorre porque, aplicando a definição:
Lsin(bt) = integral0^infty e^-st sin(bt) , dt = bs^2 + b^2

Passo 7

f) f(t) = cos(b t)
De forma similar ao seno, a Transformada de Laplace para o cosseno é:
Lcos(bt) = ss^2 + b^2
Isso vem da integral:
Lcos(bt) = integral0^infty e^-st cos(bt) , dt = ss^2 + b^2

Passo 8

g) f(t) = sinh(b t)
Para a função hiperbólica seno, a Transformada de Laplace é:
Lsinh(bt) = bs^2 - b^2
Isso se deve a:
Lsinh(bt) = integral0^infty e^-st sinh(bt) , dt = bs^2 - b^2

Passo 9

h) f(t) = cosh(b t)
Analogamente, para o cosseno hiperbólico:
Lcosh(bt) = ss^2 - b^2
Isso vem da integral:
Lcosh(bt) = integral0^infty e^-st cosh(bt) , dt = ss^2 - b^2

Passo 10

i) f(t) = t e^a t
Para funções que são produto de t e uma exponencial, usamos a propriedade da derivada da Transformada de Laplace:
Lt e^a t = 1(s - a)^2
Isso porque:
Lt e^a t = integral0^infty e^-st t e^a t , dt = 1(s - a)^2

Passo 11

j) f(t) = t^n e^a t , onde n é um inteiro positivo
Utilizando a fórmula geral para t^n e^a t :
Lt^n e^a t = n!(s - a)^n+1
Portanto, para qualquer inteiro positivo n :
Lt^n e^a t = n!(s - a)^n+1

Passo 12

k) f(t) = e^a t sin(b t)
Para o produto de uma exponencial e seno, a Transformada de Laplace é:
Le^a t sin(b t) = b(s - a)^2 + b^2
Isso se deve à integral:
Le^a t sin(b t) = integral0^infty e^-st e^a t sin(b t) , dt = b(s - a)^2 + b^2

Passo 13

l) f(t) = e^a t cos(b t)
Similar ao caso anterior, para o produto de uma exponencial e cosseno:
Le^a t cos(b t) = s - a(s - a)^2 + b^2
Isso vem da integral:
Le^a t cos(b t) = integral0^infty e^-st e^a t cos(b t) , dt = s - a(s - a)^2 + b^2

Resposta

Aqui estão as Transformadas de Laplace das funções apresentadas:
a) L1 = dfrac1s
b) Le^a t = dfrac1s - a
c) Lt = dfrac1s^2
d) Lt^n = dfracn!s^n+1 , onde n é um inteiro positivo
e) Lsin(bt) = dfracbs^2 + b^2
f) Lcos(bt) = dfracss^2 + b^2
g) Lsinh(bt) = dfracbs^2 - b^2
h) Lcosh(bt) = dfracss^2 - b^2
i) Lt e^a t = dfrac1(s - a)^2
j) Lt^n e^a t = dfracn!(s - a)^n+1 , onde n é um inteiro positivo
k) Le^a t sin(bt) = dfracb(s - a)^2 + b^2
l) Le^a t cos(bt) = dfracs - a(s - a)^2 + b^2

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