Calcule a integral de linha
integralC x y d s
onde C: x^2+y^2=4,0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC x,y,d s
ao longo do círculo Ccolon x^2+y^2=4.
Aqui vamos usar parametrização em coordenadas polares e a fórmula
d s = llvert r'(t)rrvert,d t

Passo 2

Parametrizamos o círculo de raio 2 por
x=2cos t, y=2sin t, tin[0,2pi]
Então
r(t)=(2cos t,2sin t),
r'(t)=(-2sin t,,2cos t)

Passo 3

Calculamos agora o elemento de arco:
llvert r'(t)rrvert =raiz(-2sin t)^2+(2cos t)^2 =raiz4sin^2t+4cos^2t =2
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d s=2,d t

Passo 4

Substituindo tudo na integral, temos
x,y,d s =(2cos t),(2sin t),(2,d t) =8cos tsin t,d t =4sin(2t),d t
Portanto
integralCx,y,d s =4integral0^2pisin(2t),d t

Passo 5

Para calcular
integral0^2pisin(2t),d t
usamos que o seno completo em período pi dá soma zero no intervalo 0 a 2pi. Assim
integral0^2pisin(2t),d t=0,
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4integral0^2pisin(2t),d t=4cdot0=0

Resposta

O valor da integral é 0.

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