Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.1:
Encontre a transformada inversa de Laplace das seguintes funções.
a)
b)
c)
d)
, onde
é um inteiro positivo
e)
f)
g)
h)
i)
j)
, onde
é um inteiro positivo
k)
l)
Seção 6.1:
Encontre a transformada inversa de Laplace das seguintes funções.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver as transformadas inversas de Laplace das funções que você enviou. O conteúdo aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e sistemas dinâmicos. Para isso, vamos precisar conhecer algumas transformadas padrão e saber manipular frações algébricas. Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar com a parte a)
. A transformada inversa de Laplace dessa função é uma das mais básicas. Sabemos que:
Isso significa que no domínio do tempo, a função é constante e igual a 1.
Passo 3
Agora, para a parte b)
. Aqui, temos um deslocamento no denominador. A transformada inversa é:
Então, no tempo, a função é uma exponencial.
Passo 4
Vamos para a parte c)
. Sabemos que:
Isso indica que a função no tempo é uma função linear do tempo.
Passo 5
Na parte d)
, onde
é um inteiro positivo, a transformada inversa é uma função do tipo:
Então, dependendo do valor de
, substituímos e calculamos.
Passo 6
Para a parte e)
, reconhecemos uma forma que se relaciona com a senoide. A transformada inversa é:
Assim, no tempo, a função é um seno.
Passo 7
Na parte f)
, essa forma está ligada ao cosseno. A transformada inversa é:
Portanto, a função no tempo é um cosseno.
Passo 8
Para a parte g)
, temos uma fração que pode ser decomposta em frações parciais. Podemos escrever:
Aplicando a transformada inversa:
Então:
Ou seja, a função hiperbólica seno.
Passo 9
Na parte h)
, novamente usamos frações parciais:
Aplicando a transformada inversa:
Então, a função no tempo é a hiperbólica cosseno.
Passo 10
Vamos para a parte i)
. Sabemos que:
Isso significa que no domínio do tempo, a função é
vezes uma exponencial.
Passo 11
Na parte j)
, onde
é inteiro positivo, a transformada inversa é:
Então, a função no tempo é
multiplicado pela exponencial.
Passo 12
Para a parte k)
, isso se relaciona com a função seno, mas com deslocamento no denominador:
Portanto, no tempo, é uma senoide multiplicada por uma exponencial.
Passo 13
Finalmente, na parte l)
, essa forma se conecta ao cosseno com deslocamento:
Então, a função no tempo é um cosseno multiplicado por uma exponencial.
Resposta
As transformadas inversas de Laplace das funções dadas são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)