Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.1:
Encontre a transformada inversa de Laplace das seguintes funções.
a) F(s)=1s
b) F(s)=1s-a
c) F(s)=1s^2
d) F(s)=1s^n+1, onde n é um inteiro positivo
e) F(s)=bs^2+b^2
f) F(s)=ss^2+b^2
g) F(s)=bs^2-b^2
h) F(s)=ss^2-b^2
i) F(s)=1(s-a)^2
j) F(s)=n !(s-a)^n+1, onde n é um inteiro positivo
k) F(s)=b(s-a)^2+b^2
l) F(s)=s-a(s-a)^2+b^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver as transformadas inversas de Laplace das funções que você enviou. O conteúdo aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e sistemas dinâmicos. Para isso, vamos precisar conhecer algumas transformadas padrão e saber manipular frações algébricas. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com a parte a) F(s) = 1s . A transformada inversa de Laplace dessa função é uma das mais básicas. Sabemos que:
L^-11s = 1
Isso significa que no domínio do tempo, a função é constante e igual a 1.

Passo 3

Agora, para a parte b) F(s) = 1s - a . Aqui, temos um deslocamento no denominador. A transformada inversa é:
L^-11s - a = e^a t
Então, no tempo, a função é uma exponencial.

Passo 4

Vamos para a parte c) F(s) = 1s^2 . Sabemos que:
L^-11s^2 = t
Isso indica que a função no tempo é uma função linear do tempo.

Passo 5

Na parte d) F(s) = 1s^n+1 , onde n é um inteiro positivo, a transformada inversa é uma função do tipo:
L^-11s^n+1 = t^nn!
Então, dependendo do valor de n , substituímos e calculamos.

Passo 6

Para a parte e) F(s) = bs^2 + b^2 , reconhecemos uma forma que se relaciona com a senoide. A transformada inversa é:
L^-1bs^2 + b^2 = sin(bt)
Assim, no tempo, a função é um seno.

Passo 7

Na parte f) F(s) = ss^2 + b^2 , essa forma está ligada ao cosseno. A transformada inversa é:
L^-1ss^2 + b^2 = cos(bt)
Portanto, a função no tempo é um cosseno.

Passo 8

Para a parte g) F(s) = bs^2 - b^2 , temos uma fração que pode ser decomposta em frações parciais. Podemos escrever:
bs^2 - b^2 = b(s - b)(s + b) = 12( 1s - b - 1s + b )
Aplicando a transformada inversa:
L^-11s - b = e^bt e L^-11s + b = e^-bt
Então:
L^-1bs^2 - b^2 = 12(e^bt - e^-bt) = sinh(bt)
Ou seja, a função hiperbólica seno.

Passo 9

Na parte h) F(s) = ss^2 - b^2 , novamente usamos frações parciais:
ss^2 - b^2 = 12( 1s - b + 1s + b )
Aplicando a transformada inversa:
L^-1ss^2 - b^2 = 12(e^bt + e^-bt) = cosh(bt)
Então, a função no tempo é a hiperbólica cosseno.

Passo 10

Vamos para a parte i) F(s) = 1(s - a)^2 . Sabemos que:
L^-11(s - a)^2 = t e^a t
Isso significa que no domínio do tempo, a função é t vezes uma exponencial.

Passo 11

Na parte j) F(s) = n!(s - a)^n+1 , onde n é inteiro positivo, a transformada inversa é:
L^-1n!(s - a)^n+1 = t^nn! e^a t times n! = t^n e^a t
Então, a função no tempo é t^n multiplicado pela exponencial.

Passo 12

Para a parte k) F(s) = b(s - a)^2 + b^2 , isso se relaciona com a função seno, mas com deslocamento no denominador:
L^-1b(s - a)^2 + b^2 = e^a t sin(bt)
Portanto, no tempo, é uma senoide multiplicada por uma exponencial.

Passo 13

Finalmente, na parte l) F(s) = s - a(s - a)^2 + b^2 , essa forma se conecta ao cosseno com deslocamento:
L^-1s - a(s - a)^2 + b^2 = e^a t cos(bt)
Então, a função no tempo é um cosseno multiplicado por uma exponencial.

Resposta

As transformadas inversas de Laplace das funções dadas são:
a) L^-11s = 1
b) L^-11s - a = e^a t
c) L^-11s^2 = t
d) L^-11s^n+1 = t^nn!
e) L^-1bs^2 + b^2 = sin(bt)
f) L^-1ss^2 + b^2 = cos(bt)
g) L^-1bs^2 - b^2 = sinh(bt)
h) L^-1ss^2 - b^2 = cosh(bt)
i) L^-11(s - a)^2 = t e^a t
j) L^-1n!(s - a)^n+1 = t^n e^a t
k) L^-1b(s - a)^2 + b^2 = e^a t sin(bt)
l) L^-1s - a(s - a)^2 + b^2 = e^a t cos(bt)

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