Nos itens abaixo, encontre a série de Taylor de f(x) em a=0 (suponha que f tenha expansão em uma série de Taylor). E também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=sen x

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=sin x em a=0 e o raio de convergência dessa série. Vamos usar o fato de que os coeficientes da série vêm das derivadas de sin x avaliadas em 0 e depois aplicar o teste da razão para achar o raio.

Passo 2

Calculemos as primeiras derivadas de f(x)=sin x em x=0:
f(0)=0, f'(x)=cos x;Rightarrow;f'(0)=1,
f''(x)=-sin x;Rightarrow;f''(0)=0, f'''(x)=-cos x;Rightarrow;f'''(0)=-1
Como essas derivadas se repetem ciclicamente de período 4, vemos que somente as derivadas de ordem ímpar são não nulas, e mais precisamente
f^(2k+1)(0)=(-1)^k, f^(2k)(0)=0(k>=0)

Passo 3

O termo geral da série de Maclaurin é
an=f^(n)(0)n!
Logo, para n=2k+1 temos
a2k+1=(-1)^k(2k+1)!,
e para n=2k com k>=1, a2k=0. Portanto a expansão fica
sin x = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)!,x^2k+1

Passo 4

Para encontrar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão a uk=(-1)^k(2k+1)!x^2k+1:
limktoinfty|uk+1uk| =limktoinfty|x|^2(k+1)+1/(2k+3)!|x|^2k+1/(2k+1)! =limktoinfty|x|^2(2k+3)(2k+2)=0
Como esse limite é zero para todo x, a série converge para qualquer valor de x, ou seja,
R=infty

Resposta

sin x = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)!,x^2k+1, R = infty

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