Nos itens abaixo, encontre a série de Taylor de em (suponha que tenha expansão em uma série de Taylor). E também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de em e o raio de convergência dessa série. Vamos usar o fato de que os coeficientes da série vêm das derivadas de avaliadas em 0 e depois aplicar o teste da razão para achar o raio.
Passo 2
Calculemos as primeiras derivadas de em :
Como essas derivadas se repetem ciclicamente de período 4, vemos que somente as derivadas de ordem ímpar são não nulas, e mais precisamente
Passo 3
O termo geral da série de Maclaurin é
Logo, para temos
e para com , . Portanto a expansão fica
Passo 4
Para encontrar o raio de convergência , aplicamos o teste da razão a :
Como esse limite é zero para todo x, a série converge para qualquer valor de x, ou seja,
R=infty
Resposta
sin x = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)!,x^2k+1, R = infty