Calcule a integral de linha , onde é arco da cicloide dado por , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo integral de linha! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é um arco da cicloide dado pela função paramétrica , com variando de a . O campo vetorial . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como parametrizar o caminho .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva . A fórmula geral é:
Aqui, é a parametrização da curva e é a sua derivada em relação a .
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada da parametrização . A função dada é:
Derivando cada componente em relação a :
Passo 4
Agora, precisamos avaliar o campo vetorial na curva , ou seja, substituir e pelas componentes de :
Sabemos que:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar :
Vamos multiplicar cada termo:
Passo 6
Agora, a integral de linha fica:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Vamos dividir a integral em quatro partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 8
Primeira integral:
Então:
Passo 9
Segunda integral:
Usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Integrando:
Avaliado de a :
Passo 10
Terceira integral: integral t sin t , dt
Vamos usar integração por partes, onde:
u = t Rightarrow du = dt
dv = sin t , dt Rightarrow v = -cos t
Aplicando a fórmula integral u , dv = uv - integral v , du:
integral t sin t , dt = -t cos t + integral cos t , dt = -t cos t + sin t
Avaliado de 0 a pi3:
( -t cos t + sin t ) |0^pi3 = ( -pi3 cos(pi3) + sin(pi3) ) - (0 + 0) = -pi3 cdot 12 + raiz32 = -pi6 + raiz32
Passo 11
Quarta integral: integral sin^2 t , dt
Usamos outra identidade trigonométrica:
sin^2 t = 1 - cos(2t)2
Então:
integral sin^2 t , dt = integral 1 - cos(2t)2 , dt = 12 integral 1 , dt - 12 integral cos(2t) , dt