Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é arco da cicloide dado por r(t)=(t+sent) imath+ (3-cos t) jmath, 0 <= t <= pi3, e F(x, y)=(3-y) imath+x jmath.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo integral de linha! A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde C é um arco da cicloide dado pela função paramétrica r(t) = (t + sin t) i + (3 - cos t) j, com t variando de 0 a pi3. O campo vetorial F(x, y) = (3 - y) i + x j. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como parametrizar o caminho C.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial F ao longo de uma curva C. A fórmula geral é:
integralC F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt
Aqui, r(t) é a parametrização da curva C e r'(t) é a sua derivada em relação a t.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada da parametrização r(t). A função dada é:
r(t) = (t + sin t) i + (3 - cos t) j
Derivando cada componente em relação a t:
r'(t) = (1 + cos t) i + (sin t) j

Passo 4

Agora, precisamos avaliar o campo vetorial F na curva C, ou seja, substituir x e y pelas componentes de r(t):
F(r(t)) = (3 - y(t)) i + x(t) j
Sabemos que:
x(t) = t + sin t e y(t) = 3 - cos t
Substituindo:
F(r(t)) = (3 - (3 - cos t)) i + (t + sin t) j = cos t i + (t + sin t) j

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t):
F(r(t)) cdot r'(t) = cos t cdot (1 + cos t) + (t + sin t) cdot sin t
Vamos multiplicar cada termo:
= cos t + cos^2 t + t sin t + sin^2 t

Passo 6

Agora, a integral de linha fica:
integral0^pi3 ( cos t + cos^2 t + t sin t + sin^2 t ) dt
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Vamos dividir a integral em quatro partes:
integral0^pi3 cos t , dt + integral0^pi3 cos^2 t , dt + integral0^pi3 t sin t , dt + integral0^pi3 sin^2 t , dt
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 8

Primeira integral:
integral cos t , dt = sin t
Então:
sin t |0^pi3 = sin(pi3) - sin(0) = raiz32 - 0 = raiz32

Passo 9

Segunda integral: integral cos^2 t , dt
Usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 t = 1 + cos(2t)2
Então:
integral cos^2 t , dt = integral 1 + cos(2t)2 , dt = 12 integral 1 , dt + 12 integral cos(2t) , dt
Integrando:
= 12 t + 14 sin(2t)
Avaliado de 0 a pi3:
( 12 t + 14 sin(2t) ) |0^pi3 = 12 cdot pi3 + 14 sin(2pi3) - 0 = pi6 + 14 cdot raiz32 = pi6 + raiz38

Passo 10

Terceira integral: integral t sin t , dt
Vamos usar integração por partes, onde:
u = t Rightarrow du = dt
dv = sin t , dt Rightarrow v = -cos t
Aplicando a fórmula integral u , dv = uv - integral v , du:
integral t sin t , dt = -t cos t + integral cos t , dt = -t cos t + sin t
Avaliado de 0 a pi3:
( -t cos t + sin t ) |0^pi3 = ( -pi3 cos(pi3) + sin(pi3) ) - (0 + 0) = -pi3 cdot 12 + raiz32 = -pi6 + raiz32

Passo 11

Quarta integral: integral sin^2 t , dt
Usamos outra identidade trigonométrica:
sin^2 t = 1 - cos(2t)2
Então:
integral sin^2 t , dt = integral 1 - cos(2t)2 , dt = 12 integral 1 , dt - 12 integral cos(2t) , dt
Integrando:
= 12 t - 14 sin(2t)
Avaliado de 0 a pi3:
( 12 t - 14 sin(2t) ) |0^pi3 = 12 cdot pi3 - 14 sin(2pi3) - 0 = pi6 - 14 cdot raiz32 = pi6 - raiz38

Passo 12

Agora, somamos todas as integrais:
raiz32 + ( pi6 + raiz38 ) + ( -pi6 + raiz32 ) + ( pi6 - raiz38 )
Vamos simplificar:
  • Termos com pi:
pi6 - pi6 + pi6 = pi6
  • Termos com raiz3:
raiz32 + raiz38 + raiz32 - raiz38 = raiz32 + raiz32 = raiz3
Então, no total:
pi6 + raiz3

Resposta

A integral de linha é igual a pi6 + raiz3.

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