Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral integral0^infty 1+sen^2 xraizx d x é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral imprópria
integral0^infty1+sin^2xraizx,dx
e pede para determinar sua convergência usando o Teorema da Comparação. Temos duas situações a analisar: o comportamento perto de x=0 (singularidade no denominador) e o comportamento quando xtoinfty.

Passo 2

Analisando xto0^+: note que sin^2x é limitado por
0<=sin^2x<=1
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1<=1+sin^2x<=2 Longrightarrow 0<=1+sin^2xraizx<=2raizx
Como
integral0^1 2raizx,dx =2integral0^1 x^-tfrac12,dx =2l[2x^tfrac12r]0^1 =4
é finito, pelo Teorema da Comparação a integral original converge em [0,1].

Passo 3

Analisando xtoinfty: de novo 1<=1+sin^2x<=2 implica
1+sin^2xraizx>=1raizx
Mas
integral1^infty 1raizx,dx =l[2x^tfrac12r]1^infty =+infty
Como uma função maior ou igual a uma cuja integral diverge também diverge, pelo Teorema da Comparação a parte de 1 a infty diverge.

Resposta

A integral diverge.

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