Sendo
, e
a hélice circular dada pelas equações
, calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
ao longo de uma hélice circular
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais em curvas no espaço, especificamente uma hélice. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o elemento de comprimento
e então montar e resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha do tipo
percorre a função
ao longo da curva
. Nesse caso,
. Para facilitar, vamos parametrizar a hélice usando um parâmetro
.
Passo 3
A hélice circular
está definida pelas equações paramétricas:
com
variando de
a
. Isso significa que à medida que
varia dentro desse intervalo, a curva traça uma hélice no espaço 3D.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento
. Para isso, derivamos cada componente da curva em relação a
:
O elemento de comprimento
é dado por:
Substituindo as derivadas:
Simplificando:
pois
.
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral de linha:
Podemos fatorar as constantes:
Lembrando que
, temos:
Simplificando os termos:
Resposta
O valor da integral é
.