Sendo de<a in R, de<a>0, e C a hélice circular dada pelas equações x=cos (de<a t), y=sen(de<a t), z=de<a t, pi6 de<a <= t <= 3 pi2 de<a, calcule
integralC x y d s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralC x y , d s ao longo de uma hélice circular C. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais em curvas no espaço, especificamente uma hélice. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o elemento de comprimento d s e então montar e resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha do tipo integralC f(x, y, z) , d s percorre a função f(x, y, z) ao longo da curva C. Nesse caso, f(x, y, z) = x y. Para facilitar, vamos parametrizar a hélice usando um parâmetro t.

Passo 3

A hélice circular C está definida pelas equações paramétricas:
x = cos(de<a t), y = sin(de<a t), z = de<a t
com t variando de pi6 de<a a 3 pi2 de<a. Isso significa que à medida que t varia dentro desse intervalo, a curva traça uma hélice no espaço 3D.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento d s. Para isso, derivamos cada componente da curva em relação a t:
dxdt = -de<a sin(de<a t), dydt = de<a cos(de<a t), dzdt = de<a
O elemento de comprimento d s é dado por:
d s = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt
Substituindo as derivadas:
d s = raiz(-de<a sin(de<a t))^2 + (de<a cos(de<a t))^2 + (de<a)^2 , dt = raizde<a^2 sin^2(de<a t) + de<a^2 cos^2(de<a t) + de<a^2
Simplificando:
d s = de<a raizsin^2(de<a t) + cos^2(de<a t) + 1 , dt = de<a raiz2 , dt
pois sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1.

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral de linha:
integralC x y , d s = integralpi6 de<a^3 pi2 de<a cos(de<a t) cdot sin(de<a t) cdot de<a raiz2 , dt
Podemos fatorar as constantes:
de<a raiz2 integralpi6 de<a^3 pi2 de<a cos(de<a t) sin(de<a t) , dt
Lembrando que cos(theta) sin(theta) = 12 sin(2theta), temos:
de<a raiz2 cdot 12 integralpi6 de<a^3 pi2 de<a sin(2de<a t) , dt = de<a raiz22 [ -12de<a cos(2de<a t) ]pi6 de<a^3 pi2 de<a
Simplificando os termos:
de<a raiz22 cdot ( -12de<a ) [ cos(3pi) - cos(pi3) ] = -raiz24 [ -1 - 12 ] = raiz24 cdot 32 = 3raiz28

Resposta

O valor da integral é dfrac3, raiz28.

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