Calcule a integral de linha
integralC F cdot d r
onde F(x, y)=(y, x) e C é o arco da circunferência de equação x^2+y^2=1, no primeiro quadrante, percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
onde F(x,y)=(y,x) e C é o arco da circunferência x^2+y^2=1 no primeiro quadrante, orientado no sentido anti-horário. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial; vamos usar parametrização de curva.

Passo 2

Parametrizamos C por
r(t) = (cos t,;sin t), tin[0,tfracpi2],
pois em t=0 temos (1,0) e em t=tfracpi2 temos (0,1). Então
dr = r'(t),dt = (-sin t,;cos t),dt

Passo 3

Em função de t, o campo vale
F(r(t)) = (sin t,;cos t)
O produto escalar é
F(r(t))cdot r'(t) = (sin t)(-sin t) + (cos t)(cos t) = -sin^2t + cos^2t = cos(2t)

Passo 4

Substituindo na integral, temos
integralCFcdot dr = integral0^pi2cos(2t),dt
Sabemos que
integral cos(2t),dt = tfrac12sin(2t),
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integral0^pi2cos(2t),dt = 12l[sin(2t)r]0^pi2 = 12l(sinpi - sin0r) =0

Resposta

0

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