Considere duas funções
e
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas funções diferenciáveis
e
, vale
O conteúdo aqui é a definição de gradiente e a aplicação da regra do produto nas derivadas parciais.
Passo 2
Por definição, o gradiente de uma função
é o vetor das suas derivadas parciais:
Passo 3
Aplicando a regra do produto a cada derivada parcial de
, temos:
e de modo análogo
Passo 4
Reunindo essas três componentes, obtemos
Por distributividade no espaço vetorial, isso é exatamente
Resposta
Portanto, está provado que