Considere duas funções g: R^3 R e f: R^3 R. Prove que nabla(f g)=f nabla g+g nabla f.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas funções diferenciáveis
f:R^3toR e g:R^3toR, vale
nabla(fg)=f,nabla g+g,nabla f
O conteúdo aqui é a definição de gradiente e a aplicação da regra do produto nas derivadas parciais.

Passo 2

Por definição, o gradiente de uma função h:R^3toR é o vetor das suas derivadas parciais:
nabla h = l(partial hpartial x,; partial hpartial y,; partial hpartial zr)

Passo 3

Aplicando a regra do produto a cada derivada parcial de fg, temos:
partial (f g)partial x = f,partial gpartial x ;+; g,partial fpartial x,
e de modo análogo
partial (f g)partial y = f,partial gpartial y + g,partial fpartial y, partial (f g)partial z = f,partial gpartial z + g,partial fpartial z

Passo 4

Reunindo essas três componentes, obtemos
nabla(fg) = l(f,partial gpartial x+g,partial fpartial x,; f,partial gpartial y+g,partial fpartial y,; f,partial gpartial z+g,partial fpartial zr)
Por distributividade no espaço vetorial, isso é exatamente
f, l(partial gpartial x,partial gpartial y,partial gpartial zr) ;+; g, l(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial zr) = f,nabla g + g,nabla f

Resposta

Portanto, está provado que
nabla(fg)=f,nabla g+g,nabla f

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