O campo
é conservativo? Justifique. Se for, encontre uma função potencial
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá o campo
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
. Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais mistas em um domínio simplesmente conectado (aqui
).
Passo 2
Calculemos
Passo 3
Como
em todo
, que é simplesmente conectado, concluímos que
é conservativo.
Passo 4
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 5
Diferenciando em
e igualando a
:
Logo
, de onde
Tomando
para simplicidade, temos
Resposta
Uma função potencial é
pois de fato