O campo
F(x, y)=(2 x y, x^2+2 y)
é conservativo? Justifique. Se for, encontre uma função potencial f(x, y) tal que nabla f=F.

Passo 1

O enunciado dá o campo
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) = l(2xy,;x^2+2yr)
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f(x,y) tal que nabla f=F. Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais mistas em um domínio simplesmente conectado (aqui R^2).

Passo 2

Calculemos
partial Ppartial y =partialpartial y(2xy) =2x,
partial Qpartial x =partialpartial x(x^2+2y) =2x

Passo 3

Como
partial Ppartial y =partial Qpartial x
em todo R^2, que é simplesmente conectado, concluímos que F é conservativo.

Passo 4

Para achar a função potencial f, integramos P em relação a x:
f(x,y) =integral 2xy,dx =x^2y + C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 5

Diferenciando em y e igualando a Q:
fy =partialpartial yl(x^2y + C(y)r) =x^2 + C'(y) = x^2 + 2y
Logo C'(y)=2y, de onde
C(y)=integral 2y,dy = y^2 + k
Tomando k=0 para simplicidade, temos
f(x,y)=x^2y + y^2

Resposta

Uma função potencial é
f(x,y)=x^2y + y^2,
pois de fato
nabla f=(fx,fy)=(2xy,;x^2+2y)=F(x,y)

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