Mostre que nabla(r^n)=n r^n-2 r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o gradiente de $ r^{n} $ é igual a $ n r^{n-2} \mathbf{r} r^n áááçõúáé \nabla $) e como aplicá-lo a funções que dependem da distância ao origem, como $ r^{n} $.

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar que $ r $ representa a distância até a origem no espaço tridimensional, e pode ser escrito como:
r
Agora, queremos encontrar o gradiente de $ r^{n} $. O operador gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
r = raizx^2 + y^2 + z^2
Então, aplicando o gradiente a $ r^{n} $:
r^n

Passo 3

Vamos calcular uma dessas derivadas parciais, por exemplo, $ \frac{\partial}{\partial x} r^{n} $. Usando a regra da cadeia:
partialpartial x r^n
Sabemos que:
partialpartial x r^n = n r^n-1 partial rpartial x
Então substituindo:
partial rpartial x = xr

Passo 4

Fazendo o mesmo para as derivadas em relação a $ y $ e $ z $:
y
z

Passo 5

Agora, juntando tudo no vetor gradiente:
nabla(r^n) = ( n r^n-2 x, n r^n-2 y, n r^n-2 z ) = n r^n-2 (x, y, z) = n r^n-2 r

Resposta

Portanto, mostramos que:
nabla(r^n) = n r^n-2 r

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