Mostre que
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o gradiente de $ r^{n} $ é igual a $ n r^{n-2} \mathbf{r}
\nabla $) e como aplicá-lo a funções que dependem da distância ao origem, como $ r^{n} $.
Passo 2
Primeiramente, vamos lembrar que $ r $ representa a distância até a origem no espaço tridimensional, e pode ser escrito como:
Agora, queremos encontrar o gradiente de $ r^{n} $. O operador gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
Então, aplicando o gradiente a $ r^{n} $:
Passo 3
Vamos calcular uma dessas derivadas parciais, por exemplo, $ \frac{\partial}{\partial x} r^{n} $. Usando a regra da cadeia:
Sabemos que:
Então substituindo:
Passo 4
Fazendo o mesmo para as derivadas em relação a $ y $ e $ z $:
Passo 5
Agora, juntando tudo no vetor gradiente:
Resposta
Portanto, mostramos que: