Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC y d s, C: r(t)=(t^2, 2 t), 0 <= t <= 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha escalar
integralCy,ds
ao longo da curva C parametrizada por
vec r(t) = l(t^2,,2tr), 0<= t<= 3
Aqui o conteúdo é integral de linha de uma função escalar f(x,y)=y, e vamos precisar obter a expressão de ds em função de t.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada da parametrização e o seu módulo.
vec r'(t)=l(2t,;2r)
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l|vec r'(t)r|=raiz(2t)^2+2^2=raiz4t^2+4=2raizt^2+1

Passo 3

Sabendo que ds=l|vec r'(t)r|,dt, substituímos na integral
integralCy,ds=integral0^3y(t),l|vec r'(t)r|,dt
Como y(t)=2t, temos
integralCy,ds=integral0^32t;l(2raizt^2+1r),dt=integral0^34traizt^2+1,dt

Passo 4

Para calcular
integral0^34traizt^2+1,dt
fazemos a substituição u=t^2+1, de modo que du=2t,dt e 4t,dt=2,du. Quando t=0 temos u=1 e quando t=3 temos u=10. Assim
integral0^34traizt^2+1,dt =integralu=1^102raizu,du

Passo 5

Agora integramos em u:
integral1^102u^1/2,du =2cdotu^3/2tfrac32g|1^10 =43l(u^3/2r)|1^10 =43l(10^3/2-1r)

Resposta

integralCy,ds=43l(10raiz10-1r)

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