Vamos usar a noção de limite para estudar taxas de crescimento de funções. Sejam f(x) e g(x) funções positivas e
lim x +infty f(x)g(x)=L>0
A depender do valor de L, podemos saber se f cresce mais rapidamente que g, e vice-versa: caso L>1, então para valores de x suficientemente grandes teremos f(x)g(x)>1 e portanto f(x)>g(x). Analogamente, se L<1, para valores de x suficientemente grande temos f(x)<g(x).
Em cada item abaixo, utilize o critério acima para decidir qual função cresce mais rapidamente quando x +infty.
f(x)=e^x, g(x)=x^k, (dica: Escreva x^k=e^log (x^k) e use que lim x +infty(x-k log (x))=+infty).

Passo 1

O enunciado pede para comparar as taxas de crescimento, quando xto+infty, de
f(x)=e^x
e
g(x)=x^k,
sabendo que se
limxto+inftyf(x)g(x)=L>1,
então f cresce mais rápido que g. Vamos calcular esse limite.

Passo 2

Escrevemos
f(x)g(x) =e^xx^k
Para simplificar, note que
x^k=e^log(x^k) =e^klog(x),
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e^xx^k =e^,x-klog(x)

Passo 3

Agora avaliamos o expoente:
limxto+inftyl(x-klog(x)r) =+infty
(porque x cresce muito mais rápido que log(x)). Portanto
limxto+inftye^,x-klog(x) =e^+infty =+infty

Passo 4

O limite
limxto+inftyf(x)g(x)=+infty
é um valor maior que 1. Pelas regras dadas, isso significa que para x suficientemente grande temos f(x)>g(x).

Resposta

A função e^x cresce mais rapidamente que x^k quando xto+infty.

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