Vamos usar a noção de limite para estudar taxas de crescimento de funções. Sejam
e
funções positivas e
A depender do valor de
, podemos saber se
cresce mais rapidamente que
, e vice-versa: caso
, então para valores de
suficientemente grandes teremos
e portanto
. Analogamente, se
, para valores de
suficientemente grande temos
.
Em cada item abaixo, utilize o critério acima para decidir qual função cresce mais rapidamente quando
.
, (dica: Escreva
e use que
.
Passo 1
O enunciado pede para comparar as taxas de crescimento, quando
, de
e
sabendo que se
então
cresce mais rápido que
. Vamos calcular esse limite.
Passo 2
Escrevemos
Para simplificar, note que
logo
Passo 3
Agora avaliamos o expoente:
(porque
cresce muito mais rápido que
). Portanto
Passo 4
O limite
é um valor maior que
. Pelas regras dadas, isso significa que para
suficientemente grande temos
.
Resposta
A função
cresce mais rapidamente que
quando
.