Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada:
\int_{C}\left(3 x^{2} y+6\right) d s, com C parametrizada por \vec{r}(t)=<\cos (t), \operatorname{sen}(t)>, 0 \leq t \leq \pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar
f(x,y)=3x^{2}y+6
ao longo da curva C dada por
\vec r(t)=(\cos t,\sin t),\quad 0\le t\le \pi.
Na teoria, uma integral de linha escalar é
\int_{C}f(x,y)\,ds \;=\;\int_{a}^{b}f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização e seu módulo:
\vec r\,'(t)=(-\sin t,\cos t), \qquad \bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\| =\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}=1.
Logo ds=\|\vec r\,'(t)\|\,dt=dt.

Passo 3

Substituindo x=\cos t, y=\sin t e ds=dt, temos
\int_{C}(3x^{2}y+6)\,ds =\int_{0}^{\pi}\bigl(3\cos^{2}t\sin t+6\bigr)\,dt =\int_{0}^{\pi}3\cos^{2}t\sin t\,dt\;+\;\int_{0}^{\pi}6\,dt.

Passo 4

Para a parte \displaystyle\int_{0}^{\pi}3\cos^{2}t\sin t\,dt, use u=\cos t, du=-\sin t\,dt. Então
\int_{0}^{\pi}3\cos^{2}t\sin t\,dt =-3\int_{1}^{-1}u^{2}\,du =-3\Bigl[\tfrac{u^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{-1} =-\bigl[(-1)^{3}-1^{3}\bigr] =2.

Passo 5

Para a parte \displaystyle\int_{0}^{\pi}6\,dt:
\int_{0}^{\pi}6\,dt=6\pi.

Resposta

6\pi + 2

Exercícios relacionados