Encontre a Série-de Laurent de f(z)=\frac{1}{4-z^{2}} com
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Laurent de
em torno de
.
As singularidades de são
, logo, se escrevermos
, temos dois raios de convergência:
As singularidades de
e
Passo 2
Definindo
temos
Passo 3
Fazendo frações parciais em
, escrevemos
Temos
portanto
Assim
Passo 4
Para
(ou seja
), expandimos cada termo em potências crescentes de
:
Como
implica
, obtemos
Passo 5
Para o anel
(ou seja
), expandimos
em potências negativas e
como antes:
Logo, para
,
Resposta
Para
:
Para
: