Encontre a Série-de Laurent de f(z)=\frac{1}{4-z^{2}} com z_{0}=1.

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent de
f(z)=\frac{1}{4-z^2}
em torno de z_0=1.
As singularidades de f são z=\pm2, logo, se escrevermos w=z-1, temos dois raios de convergência:
|w|<1\quad(\text{até }z=2)é
e
1<|w|<3\quad(\text{anel entre }z=2\text{ e }z=-2).

Passo 2

Definindo
w=z-1,
temos
f(z)=\frac{1}{4-(1+w)^2} =\frac{1}{4-1-2w-w^2} =\frac{1}{3-2w-w^2} =\frac{1}{(1-w)(w+3)}.

Passo 3

Fazendo frações parciais em w, escrevemos
\frac{1}{(1-w)(w+3)} =\frac{A}{1-w}+\frac{B}{w+3}.
Temos
1=A(w+3)+B(1-w)=(A-B)\,w+(3A+B),
portanto
A-B=0,\quad3A+B=1\quad\Longrightarrow\quad A=B=\tfrac14.
Assim
f(z) =\frac{1}{4}\,\frac{1}{1-w} +\frac{1}{4}\,\frac{1}{w+3}.

Passo 4

Para |w|<1 (ou seja |z-1|<1), expandimos cada termo em potências crescentes de w:
\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty}w^n,\quad |w|<1,
\frac{1}{w+3}=\frac{1}{3}\,\frac{1}{1+\tfrac w3} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{w^n}{3^{\,n+1}},\quad |w|<3.
Como |w|<1 implica |w|<3, obtemos
f(z) =\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}w^n +\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{w^n}{3^{\,n+1}} =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{4}+\frac{(-1)^n}{4\cdot3^{\,n+1}}\Bigr)w^n.

Passo 5

Para o anel 1<|w|<3 (ou seja 1<|z-1|<3), expandimos \frac1{1-w} em potências negativas e \frac1{w+3} como antes:
\frac{1}{1-w} =-\frac{1}{w}\,\frac{1}{1-\tfrac1w} =-\sum_{n=0}^{\infty}w^{-n-1},\quad |w|>1,
\frac{1}{w+3} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{w^n}{3^{\,n+1}},\quad |w|<3.
Logo, para 1<|w|<3,
f(z) =\frac{1}{4}\Bigl[-\sum_{n=0}^{\infty}w^{-n-1} +\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{w^n}{3^{\,n+1}}\Bigr].

Resposta

Para \displaystyle|z-1|<1:
f(z) =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{4}+\frac{(-1)^n}{4\cdot3^{\,n+1}}\Bigr)(z-1)^n.
Para \displaystyle1<|z-1|<3:
f(z) =\frac{1}{4}\Bigl[-\sum_{n=0}^{\infty}(z-1)^{-n-1} +\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(z-1)^n}{3^{\,n+1}}\Bigr].

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