Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
\int_{C} x y^{2} d s, onde C é o segmento de reta de (-1,5,0) a (1,6,4).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x\,y^{2}\,ds
onde C é o segmento que vai de (-1,5,0) a (1,6,4). O conteúdo é integral de linha de função escalar com respeito ao comprimento de arco. Para resolver, vamos parametrizar C, calcular ds e escrever a função f(x,y,z)=x\,y^2 em termos do parâmetro.

Passo 2

Parametrizamos o segmento por
\mathbf r(t)=(-1,5,0)+t\,(2,1,4),\quad 0\le t\le1,
logo
x(t)=-1+2t,\quad y(t)=5+t,\quad z(t)=4t.
O vetor velocidade é
\mathbf r'(t)=(2,1,4),
de modo que
ds=\bigl\|\mathbf r'(t)\bigr\|\,dt =\sqrt{2^{2}+1^{2}+4^{2}}\;dt =\sqrt{21}\;dt.

Passo 3

A função integranda fica
f\bigl(x(t),y(t)\bigr) =x(t)\,y(t)^{2} =(-1+2t)\,(5+t)^{2}.
Então a integral de linha vira
\int_{C}x\,y^{2}\,ds =\int_{0}^{1}(-1+2t)\,(5+t)^{2}\,\sqrt{21}\,dt =\sqrt{21}\int_{0}^{1}(-1+2t)\,(t+5)^{2}\,dt.

Passo 4

Expandindo o polinômio:
(-1+2t)(t+5)^{2} =2t^{3}+19t^{2}+40t-25.
Logo
\int_{0}^{1}(2t^{3}+19t^{2}+40t-25)\,dt =\Bigl[\tfrac{2}{4}t^{4}+\tfrac{19}{3}t^{3}+20t^{2}-25t\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac12+\tfrac{19}{3}+20-25 =\tfrac{11}{6}.
Multiplicando por \sqrt{21}
\sqrt{21}\,\frac{11}{6} =\frac{11\sqrt{21}}{6}.

Resposta

\int_{C}x\,y^{2}\,ds =\frac{11\sqrt{21}}{6}.

Exercícios relacionados