Determine em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
f(x, y)=e^{x} \cos y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função f(x,y)=e^{x}\cos y. Lembrando que pontos críticos são aqueles em que o gradiente de f se anula, ou seja, simultaneamente
\frac{\partial f}{\partial x}=0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}=0.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x}\cos y
\frac{\partial f}{\partial y}=-\,e^{x}\sin y

Passo 3

Para pontos críticos, impomos
e^{x}\cos y=0
-\,e^{x}\sin y=0
Como e^{x}>0 para todo x, essas equações equivalem a
\cos y=0 \quad\text{e}\quad \sin y=0.
Não existe valor de y que faça \cos y e \sin y zero ao mesmo tempo. Portanto, o sistema não tem solução.

Resposta

Não existem pontos críticos para f(x,y)=e^{x}\cos y.

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