Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
\int_{C} x e^{x-y} d s, \quad C é o segmento de reta que liga (1,2) a (0,1).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C} x\,e^{\,x - y}\,ds
onde C é o segmento de reta que liga (1,2) a (0,1).
O conteúdo aqui é a integral de uma função escalar ao longo de uma curva, para a qual vamos precisar parametrizar C e usar
ds = \bigl\lvert \mathbf r'(t)\bigr\rvert\,dt.

Passo 2

Parametrizamos C por
\mathbf r(t) = \bigl(x(t),\,y(t)\bigr) = \bigl(1 - t,\;2 - t\bigr), \quad t\in[0,1],
pois em t=0 temos (1,2) e em t=1 temos (0,1).
Então
\mathbf r'(t) = \bigl(-1,\,-1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \bigl\lvert \mathbf r'(t)\bigr\rvert = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{2},
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ds = \sqrt{2}\,dt.

Passo 3

Agora substituímos na integral. Em termos de t:
x = 1 - t, \quad y = 2 - t \quad\Longrightarrow\quad x - y = (1 - t) - (2 - t) = -1.
Assim a integranda vira
x\,e^{\,x-y} = (1 - t)\,e^{-1}
e
ds = \sqrt{2}\,dt.
Portanto
\int_{C} x\,e^{\,x-y}\,ds = \int_{0}^{1} (1 - t)\,e^{-1}\,\sqrt{2}\,dt.

Passo 4

Fatorando constantes e integrando:
\int_{0}^{1} (1 - t)\,dt = \Bigl[t - \tfrac{t^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} = 1 - \tfrac12 = \tfrac12.
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\int_{C} x\,e^{\,x-y}\,ds = e^{-1}\,\sqrt{2}\,\cdot \tfrac12 = \frac{\sqrt{2}}{2e}.

Resposta

\frac{\sqrt{2}}{2e}.

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