Questão 5.

Escolha \alpha \in \mathbb{R} de modo que o campo vetorial abaixo seja conservativo
\vec{F}(x, y)=\left(e^{x} \cos (y)+x^{3} \operatorname{sen}(y)+x^{5}\right) \vec{i}+\left(\alpha x^{4} \cos (y)-e^{x} \operatorname{sen}(y)+y^{5}\right) \vec{j},
e determine o trabalho realizado por este campo conservativo ao se mover uma partícula ao longo da curva C dada pela parametrização \vec{r}(t)=t^{2} \vec{i}+t \vec{j}, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \alpha\in\mathbb{R} de modo que o campo
\vec{F}(x,y)=P(x,y)\,\vec{i}+Q(x,y)\,\vec{j}
seja conservativo, onde
P(x,y)=e^{x}\cos(y)+x^{3}\sin(y)+x^{5}, \qquad Q(x,y)=\alpha x^{4}\cos(y)-e^{x}\sin(y)+y^{5}.
Depois, com esse campo conservativo, determinamos o trabalho ao longo da curva \vec r(t)=(t^{2},\,t), 0\le t\le2\pi, usando a diferença de potencial.

Passo 2

Para ser conservativo precisamos de
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculando:
\frac{\partial P}{\partial y} =-e^{x}\sin(y)+x^{3}\cos(y),
\frac{\partial Q}{\partial x} =4\alpha x^{3}\cos(y)-e^{x}\sin(y).
Igualando dá
-\,e^{x}\sin(y)+x^{3}\cos(y) =4\alpha x^{3}\cos(y)-e^{x}\sin(y) \;\Longrightarrow\; x^{3}\cos(y)=4\alpha x^{3}\cos(y).
Para todo x,y segue \alpha=\tfrac14.

Passo 3

Com \alpha=\tfrac14, achamos uma função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x=P e \phi_y=Q.
Integramos P em x:
\varphi(x,y) =\int\bigl(e^{x}\cos y + x^{3}\sin y + x^{5}\bigr)\,dx =e^{x}\cos y + \frac{x^{4}}{4}\sin y + \frac{x^{6}}{6} + h(y).
Depois exigimos \phi_y=Q, o que leva a
h'(y)=y^{5} \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\frac{y^{6}}{6}.
Logo, podemos tomar
\varphi(x,y) =e^{x}\cos y +\frac{x^{4}}{4}\sin y +\frac{x^{6}}{6} +\frac{y^{6}}{6}.

Passo 4

O trabalho ao longo de C é
W=\varphi\bigl(r(2\pi)\bigr)-\varphi\bigl(r(0)\bigr).
Como \vec r(0)=(0,0) e \vec r(2\pi)=(4\pi^{2},\,2\pi), temos
\varphi(0,0)=e^{0}\cos0+0+0+0=1,
\varphi(4\pi^{2},2\pi) =e^{4\pi^{2}}\cos(2\pi) +0 +\frac{(4\pi^{2})^{6}}{6} +\frac{(2\pi)^{6}}{6} =e^{4\pi^{2}} +\frac{(4\pi^{2})^{6}+(2\pi)^{6}}{6}.
Portanto
W =e^{4\pi^{2}} -1 +\frac{(4\pi^{2})^{6}+(2\pi)^{6}}{6}.

Resposta

\alpha = \tfrac{1}{4}. O trabalho realizado é
W =e^{4\pi^{2}} -1 +\frac{(4\pi^{2})^{6}+(2\pi)^{6}}{6}.

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