Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
\int_{C} y d x+x d y, C é a elipse x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1, orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}y\,dx + x\,dy
em que C é a elipse
x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1
orientada positivamente (sentido anti-horário). O conteúdo necessário é o Teorema de Green ou o reconhecimento de campo conservativo.

Passo 2

Denotamos
P(x,y) = y \quad\text{e}\quad Q(x,y) = x.
Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA,
onde D é a região interior à elipse.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y) = 1.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - 1 = 0.

Passo 4

Como o integrando no interior de D é zero, a integral dupla vale zero, e portanto
\oint_{C}y\,dx + x\,dy = 0.

Resposta

0

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