Questão 7.
Considere o campo
, e responda as perguntas abaixo:
a) Enuncie o critério de caracterização de campos conservativos definidos em todo
e verifique que
é um campo conservativo.
b) Encontre uma função potencial
de
, i.e.
.
c) Enuncie o Teorema Fundamental das Integrais de Linha e calcule
, onde
é a curva dada pela parametrização
.
a) Enuncie o critério de caracterização de campos conservativos definidos em todo
b) Encontre uma função potencial
c) Enuncie o Teorema Fundamental das Integrais de Linha e calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo
com
com
e pede:
- (a) mostrar que
é conservativo em , - (b) encontrar potencial
, - (c) usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular
com .
Vamos precisar do critério, de integrar parciais para achar e do teorema que relaciona integrais de linha e potencial.
Passo 2
Critério de campo conservativo em
: se o domínio é simplesmente conexo e
então
é conservativo. Calculando:
Como
em
,
é conservativo.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integramos
em
:
Então
deve igualar
. Logo
e
Portanto, um potencial é
Passo 4
Teorema Fundamental das Integrais de Linha: se
é conservativo com potencial
, então para
de
até
Aqui
com
Calculamos os extremos:
Logo
Portanto