Questão 7.

Considere o campo \vec{F}(x, y)=\left(x^{4} y^{3}+y^{2}+3 x^{4}\right) \vec{i}+\left(\frac{3}{5} x^{5} y^{2}+2 x y+y^{5}\right) \vec{j}, e responda as perguntas abaixo:
a) Enuncie o critério de caracterização de campos conservativos definidos em todo \mathbb{R}^{2} e verifique que \vec{F} é um campo conservativo.
b) Encontre uma função potencial f(x, y) de \vec{F}, i.e. \nabla f(x, y)=\vec{F}(x, y).
c) Enuncie o Teorema Fundamental das Integrais de Linha e calcule \int_{C} \vec{F}(x, y) d \vec{r}, onde C é a curva dada pela parametrização \vec{r}(t)=\left(\left(t^{2}-t\right) \sqrt{1+t^{4}}+t e^{t}\right) \vec{i}+\left(t^{2}-t+1\right) \vec{j}, 0 \leqslant t \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado dá o campo \displaystyle \vec{F}(x,y)=P(x,y)\,\vec{i}+Q(x,y)\,\vec{j}
com
P(x,y)=x^{4}y^{3}+y^{2}+3x^{4},\quad Q(x,y)=\tfrac{3}{5}x^{5}y^{2}+2xy+y^{5},
e pede:
  • (a) mostrar que \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^2,
  • (b) encontrar potencial f(x,y),
  • (c) usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular \displaystyle\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r} com C\colon r(t).
    Vamos precisar do critério \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, de integrar parciais para achar f e do teorema que relaciona integrais de linha e potencial.

Passo 2

Critério de campo conservativo em \mathbb{R}^2: se o domínio é simplesmente conexo e
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},
então \vec{F} é conservativo. Calculando:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}y^{3}+y^{2}+3x^{4}\bigr) =3x^{4}y^{2}+2y,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{3}{5}x^{5}y^{2}+2xy+y^{5}\Bigr) =3x^{4}y^{2}+2y.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em \mathbb{R}^2, \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Procuramos f(x,y) tal que \nabla f=(f_x,f_y)=(P,Q). Integramos f_x=P em x:
f(x,y)=\int\bigl(x^{4}y^{3}+y^{2}+3x^{4}\bigr)\,dx =\frac{x^{5}y^{3}}{5}+xy^{2}+\frac{3x^{5}}{5}+h(y).
Então
f_y =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x^{5}y^{3}}{5}+xy^{2}+\frac{3x^{5}}{5}+h(y)\Bigr) =\frac{3x^{5}y^{2}}{5}+2xy+h'(y)
deve igualar Q=\tfrac{3}{5}x^{5}y^{2}+2xy+y^{5}. Logo h'(y)=y^{5} e
h(y)=\frac{y^{6}}{6}+C.
Portanto, um potencial é
f(x,y) =\frac{x^{5}y^{3}}{5}+xy^{2}+\frac{3x^{5}}{5}+\frac{y^{6}}{6}+C.

Passo 4

Teorema Fundamental das Integrais de Linha: se \vec{F} é conservativo com potencial f, então para C de t=a até t=b
\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r} =f\bigl(r(b)\bigr)-f\bigl(r(a)\bigr).
Aqui r(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr) com
x(t)=(t^{2}-t)\sqrt{1+t^{4}}+te^{t},\quad y(t)=t^{2}-t+1,\quad 0\le t\le1.
Calculamos os extremos:
r(0)=(0,1),\qquad r(1)=(e,1).
Logo
f(e,1) =\frac{e^{5}\cdot1^{3}}{5}+e\cdot1^{2}+\frac{3e^{5}}{5}+\frac{1^{6}}{6} =\frac{4e^{5}}{5}+e+\frac{1}{6},
f(0,1) =\frac{0}{5}+0+\frac{0}{5}+\frac{1}{6} =\frac{1}{6}.
Portanto
\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r} =f(e,1)-f(0,1) =\Bigl(\frac{4e^{5}}{5}+e+\frac{1}{6}\Bigr) -\frac{1}{6} =\frac{4e^{5}}{5}+e.

Resposta

\displaystyle \frac{4e^{5}}{5}+e

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