Seja f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n^{2}}. Qual o valor de \int_{-1}^{1} f(x) d x ?

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n^{2}}
e pede o valor de
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx.
O conteúdo principal é manipular séries de potências e usar integração por partes junto com integrais elementares de logaritmo.

Passo 2

Observe que f é função par, pois só há potências x^{2n}. Logo
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =2\int_{0}^{1}f(x)\,dx.
Além disso, reconhecemos a dilogarítmica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{n}}{n^{2}}=\Li_{2}(t),
de modo que
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x^2)^{n}}{n^{2}} =\Li_{2}(x^{2}).
Portanto
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =2\int_{0}^{1}\Li_{2}(x^{2})\,dx.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{1}\Li_{2}(x^{2})\,dx, fazemos integração por partes com
u=\Li_{2}(x^{2}), \quad dv=dx.
Então du=\Li_{2}'(x^{2})\cdot2x\,dx e sabemos que
\frac{d}{du}\Li_{2}(u)=-\frac{\ln(1-u)}{u},
logo
du =-2\,\frac{\ln\bigl(1-x^{2}\bigr)}{x}\,dx.
Aplicando partes:
\int_{0}^{1}\Li_{2}(x^{2})\,dx =\Bigl[x\,\Li_{2}(x^{2})\Bigr]_{0}^{1} -\int_{0}^{1}x\,du =\Li_{2}(1) +2\int_{0}^{1}\ln\bigl(1-x^{2}\bigr)\,dx.
E como \Li_{2}(1)=\pi^{2}/6, resta avaliar \displaystyle \int_{0}^{1}\ln(1-x^{2})\,dx.

Passo 4

Dividimos
\int_{0}^{1}\ln(1-x^{2})\,dx =\int_{0}^{1}\ln(1-x)\,dx +\int_{0}^{1}\ln(1+x)\,dx.
São integrais conhecidas:
\int_{0}^{1}\ln(1-x)\,dx=-1, \qquad \int_{0}^{1}\ln(1+x)\,dx =\bigl[(1+x)\ln(1+x)-x\bigr]_{0}^{1} =2\ln2-1.
Logo
\int_{0}^{1}\ln(1-x^{2})\,dx =(-1)+(2\ln2-1) =2\ln2-2.

Passo 5

Substituindo em \int_{0}^{1}\Li_{2}(x^{2})\,dx:
\int_{0}^{1}\Li_{2}(x^{2})\,dx =\frac{\pi^{2}}{6} +2\bigl(2\ln2-2\bigr) =\frac{\pi^{2}}{6}+4\ln2-4.
Portanto
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =2\int_{0}^{1}\Li_{2}(x^{2})\,dx =2\Bigl(\frac{\pi^{2}}{6}+4\ln2-4\Bigr) =\frac{\pi^{2}}{3}+8\ln2-8.

Resposta

\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =\frac{\pi^{2}}{3}+8\ln2-8.

Exercícios relacionados