Seja
. Qual o valor de
?
Passo 1
O enunciado define
e pede o valor de
O conteúdo principal é manipular séries de potências e usar integração por partes junto com integrais elementares de logaritmo.
Passo 2
Observe que
é função par, pois só há potências
. Logo
Além disso, reconhecemos a dilogarítmica
de modo que
Portanto
Passo 3
Para calcular
, fazemos integração por partes com
Então
e sabemos que
logo
Aplicando partes:
E como
, resta avaliar
.
Passo 4
Dividimos
São integrais conhecidas:
Logo
Passo 5
Substituindo em
:
Portanto